数学的来历
在中国古代，叫作算术，又称算学，才数学．中国古代的算术是之一（六艺中称为“数”）．数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题．从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献．基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。
其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态．代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”．可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学．而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一．几何学则是最早开始被人们研究的数学分支．直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起．从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程．而其后更发展出更加精微的微积分．
数学的来历(100字)
“数学”的由来 古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。
虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。
古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。
在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。
他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。
作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。
希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。
认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说： 故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Theuth），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。
在他的《形而上学》（Meta－physics）第1卷第1章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。
亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。
在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：1．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：2．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。
亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点． 就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。
亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。
古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。
数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。
然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。
下面我们将说明数学这一名词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。
甚至伟大的辞典编辑人利特雷（E．Littre 也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（1877年）中也收入了“数学”一词。
牛津英语字典没有参照梵文。
公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。
数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。
“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。
而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。
但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
首先，亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。
其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前640
－－546年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Proclus）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。
以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。
赫拉克利特（公元前500－－
年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”， “人们不可能两次落进同一条河里”。
这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。
巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。
事实上，从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯（Gellius）和公元3世纪的希腊哲学家波菲利（Porphyry）以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Iamblichus）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。
临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。
毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。
对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。
当罗吉尔·培根（Roger Bacon，1214－－1292年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Descartes，1596－－1650年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。
然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Montucla）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。
蒙托克莱接受了第二种解释。
他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。
然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。
但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。
数学的由来20字
数学，起源于人类早期生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。
其演进可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。
第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。
除了如何去数实际物质的数量，人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如年份。
算术也自然而然地产生了。
数学的来历30字
“数学”的由来 古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。
虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。
古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。
在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。
他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。
作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。
希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。
认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
数学的由来
名称来源 数学【shù xué】（mathematics；希腊语：μαθηματικ?）这一词在西方源自于古希腊语的μ?θημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭隘且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。
其形容词意义为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。
其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。
（拉丁文：Mathemetica)原意是数和数数的技术。
我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
数学的由来
一、百年前的讲演 一个世纪前，德国数学家希尔伯特（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题 为《数学问题》的著名讲演。
这是载入数学史册的重要讲演。
他在讲演的前言和结束语 中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等发表了许多精辟的见解。
而整个讲演 的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问 题涉及现代数学的许多重要领域。
100年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴 趣。
100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，还有些问题虽取得了重大进 展，但尚未最后解决，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。
100年过去了，现在回过头来看，对希尔伯特提出的23个问题，有不少评论。
很多人 认为这些问题对推动20世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论曾指出其不足之 处，例如，这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中的 数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，等等，当然更不会想到20世纪电脑的大发 展及其对数学的重大影响。
20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范 围。
希尔伯特是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另两位是 庞加莱（1854—1912）及克莱因（1849—1925）。
他们的数学思想及对数学的贡献，既 反射出19世纪数学的光辉，也照耀着20世纪数学前进的道路。
希尔伯特是在上一次世纪交替之际作讲演的，现在又一个新的世纪开始了，再来看 看他的讲演，其中一些话仍然适用，例如在讲演一开始，他说“我们当中有谁不想揭开 未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢
我们下一代的 主要数学思潮将追求什么样的特殊目标
在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带 来什么样的新方法和新成果
”他还说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。
我 们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益 而被抛到一边并代之以新的问题。
因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去， 而且把我们的思想引向那未知的将来。
” 20世纪无疑是一个数学的伟大时代，21世纪的数学将会更加辉煌。
“每个时代都有 它自己的问题”，20世纪来临时，希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。
这些 问题对20世纪数学的发展起了很大的推动作用，但20世纪数学的成就却远远超出他所提 出的问题。
那么21世纪的问题又是什么呢
希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出这些 问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。
大家知道， 2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在发展中国家召 开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提 出他认为的21世纪的数学问题或是以其他的形式展望21世纪的数学
这些年来，已有不 少数学家提出自己认为的21世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
二、百年前讲演的启示 对希尔伯特的23个问题，不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。
但百年 前，希尔伯特演讲中对数学的一些见解却是非常深刻的，百年过去了，重读他的演讲， 依然得到很多启示。
在这里我只想讲一讲对他演讲中一段话的粗浅认识。
从17世纪60年 代微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。
开始时一些大数学家对 各个分支都懂，并且做出了很大的贡献。
但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分 支的数学家愈来愈少，到19世纪末，希尔伯特作讲演时，已是这种情况。
于是在讲演 中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研 究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗
为了回答这个问题，我想指 出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这 些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科 学发展的这种特点是根深蒂固的。
因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些 有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前 进的道路。
”100年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈多，现在数学已有 60个二级学科、400多个三级学科，所以希尔伯特的这段话现在显得更为重要。
不仅如 此，希尔伯特的这段话实际上讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展 是一个新陈代谢、吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具和更简单的方法的发现，与 一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过 程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固的”。
事实上，在数学的历史中，一些新 的有力的工具、更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，标志着 一些老的分支的衰落甚至结束。
回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。
一些数 学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“低级”的 被“高级”的所替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的， 而完全不学习“低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。
这是因为人们随着年龄的 不断增长，学习与他的年龄与智力相当的数学才是最佳选择。
学习数学是一个循序渐进 的过程，没有“低级”的数学打好基础，很难理解与学习好“高级”的数学。
以下我们从希尔伯特讲演中这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学的数学课 程。
我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题 作参考。
但我必须强调的是：从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度 来考虑问题虽有联系，但两者是不一样的。
三、算术与代数 人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在30万年前就有了，但是有文字 记载的数到公元前3400年左右才出现，至于数的四则运算则更晚。
在我国，《九章算 术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的 一部数学著作。
在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程 组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积的方法等。
在西方，也或迟或早 地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部 内容。
也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个 人在童年时代花几年就全部学会了。
对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有 力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另 一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。
在我国，约13世纪五六十年 代的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是相当于现在用x,y,z,w来表述四个未知 数。
有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。
西方彻底完 成数字符号化是在16世纪。
现在中学学习的“代数”的内容包括：一元二次方程的解， 多元（一般为二元、三元，至多四元）联立方程组的解，等等。
当然在“数字符号化” 之前，一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出现，例如我国古代已经有一些解 一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符 号化”之后，才出现了现在中学代数内容的表达形式。
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进 展”。
“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理 解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号 化”。
人类从“算术”走向“代数”经历了1000多年。
但在中学的课程中，却只花短短 的几年，就可以全部学会 这些内容。
回忆我童年时，在小学学习“算术”课程时，感到很难。
例如求解“鸡兔同笼” 题，当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得，留下的印象是感到很难，而且纳闷 的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里
既然数得清有多少个头及多少只脚，为何数不清 有多少只鸡与多少只兔
等到初中时学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元 一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使 “鸭狗同室”的问题一样可以解。
因此，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的 确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理 论，并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算 术”，可以理解得更深刻，且可以把“算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到 一边去。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”， 是“更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了， 因为：（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；（2） 即使能被替代的内容，适当地学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；（3）从 教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题，等 等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。
在中学“代数”教 材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。
但是，如果 变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。
经过很多年 的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且 由此建立起一门新的学科——“线性代数”。
这是又一次“数学中真正的进展”，由于 “更有力的工具和更简单的方法”即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组 的理解更为清楚，更为深刻，而且由于有了统一处理的方法，就可以把个别地处理方程 组的方法“抛到一边”。
中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》 中已有解一般一元二次方程的方法，后来有很多的发展。
直到19世纪，为了解决什么样 的特殊的代数方程能用根式来求解这个问题，伽罗瓦（1811—1832）建立起“群”的概 念。
这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。
有了“群” 以及后来发展起来的现代代数理论，使人们可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方 程求根式解的问题。
四、几何与三角 人类在很早时，就有各种计算面积与体积的公式或经验，也得到不少几何定理，例 如著名的毕达哥拉斯定理等。
但在古代，几何的代表作则是欧几里得的《原本》。
现在 中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容，是2300年前《原本》已有的内 容。
从《原本》问世以来，几何领域一直是它的一统天下，这种现象持续了1000多年。
“真正的进展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”，其基本思想是在平面上引进 “坐标”，使得平面上的点与实数对（x,y）之间建立起一一对应的关系，于是几何问题 就可以用代数形式表达，而几何问题的求解就归化为代数问题的求解了。
笛卡儿甚至还 提出过一个大胆的计划，即：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
“解析几何”的产生可以理解为变量数学的开始，它为微积分的产生创造了条件。
由于引进了坐标，几何问题归结为代数问题，于是可以用一些代数的工具与方法来处 理，从而使几何问题得解，这种思想与方法，使整个数学面目为之一新。
既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”，“解析几何”比起“平面几何” 与“立体几何”都来得高级，那么“平面几何”与“立体几何”是不是就不要学习了， 直接学习“解析几何”就可以了呢
从教育学的观点，这显然是不对的。
我们所说的 “把陈旧的、复杂的东西抛到一边”，是指当“解析几何”产生之后，那种用原来的方 法来创造与发明几何定理的时代已经过去了，虽然这种做法延续了1000多年，但这并不 意味着可以将“平面几何”与“立体几何”“抛到一边”。
在中学必须学习“平面几 何”与“立体几何”至少有以下几点理由：（1）可以认识人们生活的三维欧氏空间中一 些最基本的几何关系与性质；（2）不学习“平面几何”与“立体几何”，就无法学习 “解析几何”与“微积分”；（3）“平面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思 维的最好的方法之一，这种训练比上一门“形式逻辑”课更为有效，它对学生终生有 用。
当然中学“平面几何”与“立体几何”应讲授多少内容是一个值得探讨的问题，完 全取消是绝对错误的，但做过多的几何难题似乎也是不必要的。
古典几何的另一“真正的进展”，则是“非欧几何”的产生，这是数学史上的划时 代贡献。
如前所述，欧几里得的《原本》从诞生直到18世纪末，在几何领域，它是一统天 下，几乎成为“科学圣经”。
但在同时，人们多认为五条公设中的前四条简洁、明了， 无可非议，而对第五公设，即“若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交”，则感到它 不像一条公设，而更像 一条定理，即可以从其他公设、公理及定理中推导出来。
2000多年来，不知有多少数学家致力于用其他的公设、公理及定理来证明第五公 设，甚至有人为之付出了整个一生，但还是以失败告终。
直到19世纪，由高斯、波尔约 及罗巴切夫斯基创立了“非欧几何学”，才结束了这件公案。
“非欧几何学”一反过去 人们试图从其他公设、公理及定理来证明第五公设的做法，认为第五公设不可能从其他 的公设、公理及定理中推导出来，而发展起第五公设不成立的新的几何学。
高斯称之为 “非欧几里得几何学”，简称“非欧几何学”。
1854年黎曼在“非欧几何学”的思想基 础上建立了更为广泛的几何学，即“黎曼几何学”，开创了几何学甚至整个数学的新纪 元，而其发展更是一日千里。
众所周知，爱因斯坦的相对论正是以“黎曼几何”作为其 数学工具的。
经历了2000多年的思索与努力，“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进 展”，把已有的理论——欧几里得几何学，从更高、更深的角度去理解，而把那些陈旧 的思想——试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
在中学数学课程中，还有一门叫“三角”。
这门课程，主要讨论六个三角函数的相 互关系及计算。
人类对三角学的研究可以追溯到公元1～2世纪。
当时的天文学研究，已 经为三角学奠定了基础，例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。
经过了几百年的努 力，到9～10世纪，三角函数的研究已系统化，到了13世纪，球面三角也基本完成。
因 此，现在中学学习的“三角学”，其内容基本上在千年前就形成了。
人们从更高、更深的角度来认识“三角学”，是由于复数的引入。
人们对复数的思 考由来已久，例如对方程x2＋1=0的根的思考，但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世 纪的事了。
之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角学中的问题 都可以化归为复数来讨论，于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。
有了复数与欧拉 公式，使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻，并可以把一些原始的、复杂的处理 三角学的方法与工 具“抛到一边”。
我还得重复一遍，尽管复数与欧拉公式比三角学来得“高级”，但并不意味着中学 课程可以不学习三角学。
事实上，三角学是一门实用的数学分支，在很多其他学科中都 有用。
五、微积分 “微积分”实在是太重要了，不论你将来从事什么工作，理、工、医、农、文、商 等等，都得学“微积分”。
可以这样说，中学课程中学习的各门数学，从某种意义上讲 正是为学习微积分作准备的，一切大学的数学课程也都是以微积分为基础的。
微积分是从四个方面的问题来的：（1）求曲线的长度、区域的面积、物体的体积 等；（2）求曲线的切线；（3）求运动物体的速度；（4）求一些问题的极大、极小值。
当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些 时，则非用微积分不可。
而反过来，微积分的诞生，不仅能解决上述这些问题，而且其 用处大大地 超出了这些问题。
微积分的一些原始的思想，可以追溯到很远。
例如，公元3世纪诞生的刘徽的“割圆 术”就孕育着一些朴素的微积分的想法。
但是，微积分的诞生是在牛顿及莱布尼茨建立 了“微积分的基本定理”，即指出微分与积分互为逆运算之后。
计算积分不再要像以前 那样想一些特殊的办法进行逐个处理，而可以统一处理了，从而使微积分不再成为几何 学的一部分，而 成为一门独立的学科。
微积分的建立不仅使得数学的面貌彻底改变，而且将微积分应用到其他学科，使整 个自 然科学也彻底地改变了面貌。
牛顿与莱布尼茨的微积分基本定理的建立，促使了微积分的产生，的确是“数学中 一步真正的进展”，的确是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。
这不仅有助于我 们对已有理论的理解，如使我们对前面提到的四个问题原有的理解，更为清楚与深刻， 而且的确可以把以往“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，例如，对个别曲线用一些特殊 的方法来计算其面 积与切线的方法都可以抛弃了。
六、几点启示 （1）一门学科的产生往往有多方面的因素，我在这里只说了一个因素，而这个因素 在我看来是主要因素之一。
（2）一门学科对其他学科的影响也是多方面的，例如，中学 的“代数”课程，从方程式的角度导致了“线性代数”及“抽象代数”的产生，但从排 列组合的角度导致了组合数学的产生；又例如，“非欧几何”的产生，引发了“几何基 础”的深入讨 论等。
从上面的论述中，我们已经发现，导致“数学中一步真正的进展”的“更有力的工 具和更简单的方法”往往是由于看来是十分简单明了的想法。
如从算术走向代数，关键 的一步是“数字符号化”，即将数字用a,b,c，…x,y,z来表示。
但正是这简单的一步， 引发了“数学中一步真正的进展”，而人们认识到“数字符号化”，却花了上千年的时 间。
同样，由“平面几何”“立体几何”走向“解析几何”，关键的一步是“引进坐 标”，即将平面的点与数一一对应。
现在看来这一步也是十分自然的，人们是乐于接受 的，但正是这样看似简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”。
对于其他的情 形，也是一样，不在此一一重复了。
仔细想想，“数字符号化”比算术中的一道难题可能更易于理解，“数字符号化” 之后，解算术难题则轻而易举。
同样“引入坐标”，比“平面几何”中的一道难题的解 可能更易于理解，“引入坐标”之后，解几何难题则比较容易了。
当然，“代数”比 “算术”来得“高级”，“解析几何”比“平面几何”来得“高级”，可“高级”的反 而容易，“低级”的反而难，这就是“高”“低”与“难”“易”之间的辩证关系。
而 更令人深思的是：重要的是要有创新的思想，“数字符号化”“引入坐标”这些看似简 单的想法，却是创新思想。
有了这种创新思想，才会有“数学中一步真正的进展”，否 则即使是解决“算术”难题的能人，是做“平面几何”难题的高手，如果无这种创新思 想，那么难题做得再多，也不可能引发“数学中一步真正的进展”。
当然，这种创新思 想来之不易，往往要经过几百年乃至千年的积累才能形成。
经过了长期的积累，走向成 熟，就会有数学大师总结与提升前人的成果，进 而提出这种创新的思想，这就是数学的 历史。
当然，我这样说，并不是否定做一些算术或几何的难题。
从培养学生学习数学的能 力来看，让学生花太多的时间来做太多的难题当然不必要，但适当地让学生做一些数学 难题还是必要的，对培养学生的创新思想是有好处的，因为创新思想不是一天能培养出 来的，要日积月累，有一个从量变到质变的过程。
看看历史上的那些大数学家，哪一位 没有做过难题
从教学的角度来看，问题是要适量。
至于中小学教师，为了提高教学质 量，对一些难题进行研究、分析与探讨，那是理所当然的事。
从因材施教、提高同学们 学习数学的兴趣与能力的角度出发，来举办一些数学活动，如“数学竞赛”等有意义的 活动更是必要的了。
从数学发展的历史角度与从数学教育的角度来考虑问题终究是不一 样的。
如果以上算作数学历史的一点启示，那么以下所说的也可以算作数学历史的另一点 启示 。
从上述的叙述中还可以看到，数学的历史也像战争史。
“一将功成万骨枯”
想想 从欧几里得的《原本》诞生之后，几千年来，不知有多少数学家前仆后继地试图用其他 公设、公理及定理来证明第五公设。
这些人都失败了，他们都默默无闻，数学史上没有 记载他们的名字。
但正是由于千千万万个无名的数学家的失败，才导致了高斯、波尔 约、罗巴切夫斯基从另外的角度来处理这个问题。
他们成功了，他们成了英雄，但他们 的成功是在几千年来千千万万个数学家失败的基础上获得的，所以可以说是“一将功成 万骨枯”
同样自从二次、三次及四次一元代数方程式得到根式解后，几百年来，也不知有多 少数学家前仆后继地试图找到五次及更高次一元代数方程式的根式解，但他们都失败 了。
这些人在数学史上默默无闻，谁也不会记起他们的名字，但他们的牺牲，导致了拉 格朗日、阿贝尔与伽罗瓦从新的角度来考察这个问题。
他们成功了，名垂数学史，但他 们的成功也是在几百年来无数默默无闻的数学家失败的基础上获得的。
这也可说是“一 将功成万骨枯”
这样的例子还可以举出很多。
这些数学的历史，给我们以深刻的启示：我们应该如何来选择数学问题，如何来思 考与 处理数学问题，才能尽量避免不必要的牺牲，获得成功。
百年前，希尔伯特在他那著名的讲演中用以下这段话作为结束语：“数学的有机统 一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这 个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧
”我深信， 21世纪一定会“给这门科学带来天才的大师”，而且其中肯定有许多来自我们中国
数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。
数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。
数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。
这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。
对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。
更深层次的研究是数论。
对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。
后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。
17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。
随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
很难确切地说数学发生在何时何地。
人类最初的数和形的观念，可以远溯到旧石器时代，在这个时期的数十万年时间内，人类那时还处在穴居状态，生活和动物相差不多。
以后随着人类为了生存，需要寻找赖以生存的食物，于是就有打渔和狩猎等活动，在围猎与生存的斗争中，人类逐步发展了语言和早期的绘画，这加强了人类的相互交往与联络感情，有了一些简单的思维形式，但在这样一个漫长的时期中，还没有文字，庚谈不上数学的概念。
直到距今大约一万年以前，当时覆盖在亚洲、欧洲的水源开始融化，地球上出现了森林和沙漠，于是寻找生存的食物和游牧生活也就慢慢地结束了，渔人和猎人逐渐在土地上定居下来，成为原始的靠农业生存的原始的农人，在水草丰满的牧区，当然也招引了大批的游牧民，从事畜牧业成为早期的牧民，在沿海一带，人类逐渐聚居，从事航运和贸易的事业。
人类的劳动逐渐地形成了一些区分，从仅仅为生存而采集食物到主动向自然界开挖潜力，发展农业、渔业、畜牧业和其它的各项生产，人类从此进入了新石器时代。
数学的由来
数学的起源埃及是数学的古国,被人们认为是数学产生的最早国家之一.因此,在研究数学历史的时候,必须提及埃及的数学.埃及数学产生的社会背景埃及位于尼罗河岸,在古代分为两个王国,把夹在两个高原中间的狭长谷地叫做上埃及,把处于尼罗河三角洲地带叫做下埃及.这两个王国经过长时期的斗争,在公元前3200年实现了统一,并建都于下游的孟斐斯（Memphis）.尼罗河经常 泛滥,淹没良田,而统治者需要征收,重新丈量土地.实际上,埃及的几何学就起源于此.希腊的历史学家希罗多德（Herodotus约公元前484 —424）在《历史》一书中明确指出：“塞索特拉斯Sesostris）① 在全体埃及及居民中间把埃及的土地作了一次划分.他把同样大小的正方形的土地分配给所有的人,而要土地持有者每年向他缴纳租金,作为他的主要税收.如果河水泛滥,国王便派人调量损失地段的面积.这样,他的租金就要按照减少后的土地的面积来征收了.我想,正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学.”
