等比数列教案1
教学准备
教学目标
1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质；
2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力；
归纳——猜想——证明的数学研究方法；
3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。
教学重难点
重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列；
难点：等比数列的性质的探索过程。
教学过程
教学过程：
1、问题引入：
前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。
问题1：满足什么条件的数列是等差数列？如何确定一个等差数列？
（学生口述，并投影）：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。
已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：（板书）an=a1+（n—1）d。
师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
（第一次类比）类似的，我们提出这样一个问题。
问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。
（这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”（或“积”）等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。）
2、新课：
1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。
师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的？类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么？
师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。
公式的推导：（师生共同完成）
若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有：
方法一：（累乘法）
3）等比数列的性质：
下面我们一起来研究一下等比数列的性质
通过上面的研究，我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方，这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等差数列的性质，通过类比得到等比数列的性质。
问题4：如果{an}是一个等差数列，它有哪些性质？
（根据学生实际情况，可引导学生通过具体例子，寻找规律，如：
3、例题巩固：
例1、一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值。*
答案：1458或128。
例2、正项等比数列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，则log15a1a2a3…a20=_10____、
例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项？
（本题为开放题，没有的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，则ck=2k=2×2k—1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k—1项。关键是对通项公式的理解）
1、小结：
今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习
我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比——猜想——证明的科学思维的过程。
2、作业：
P129：1，2，3
思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些项：6，12，24，48，……，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项？
教学设计说明：
1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的；其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比——猜想——证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。
2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开：
1）通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义；
2）等比数列的通项公式的推导；
3）等比数列的性质；
有意识的引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路，一方面使学生回顾旧
知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。
在类比得到等比数列的定义之后，再对几个具体的数列进行鉴别，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的认识规律，使学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的应用。培养学生应用知识的能力。
在得到等比数列的定义之后，探索等比数列的通项公式又是一个重点。这里通过问题3的设计，使学生产生不得不考虑通项公式的心理倾向，造成学生认知上的冲突，从而使学生主动完成对知识的接受。
通过等差数列和等比数列的通项公式的比较使学生初步体会到等差和等比的相似性，为下面类比学习等比数列的性质，做好铺垫。
等比性质的研究是本节课的`*，通过类比
关于例题设计：重知识的应用，具有开放性，为使学生更好的掌握本节课的内容。
等比数列教案2
教学准备
教学目标
知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。
能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。
德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。
一、教学重难点
本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。
本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。
教学过程
二、教法与学法分析
为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中，力求把握好以下几点：
①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造*的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。
三、教学程序设计
（4）等差中项：如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。
2、导入新课
本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是：
1，2，4，8，…，263
再来看两个数列：
5，25，125，625，
说明：引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题：
判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。
—1，—2，—4，—8…
—1，2，—4，8…
—1，—1，—1，—1…
1，0，1，0…
提出问题：（1）公比q能否为零？为什么？首项a1呢？
（2）公比q=1时是什么数列？
（3）q>0是递增数列吗？q<0递减吗？
说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈*。
3、尝试推导通项公式
让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。
推导方法：叠乘法。
说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力；另外回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。
4、探索等比数列的图像
等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果？它的图像如何？
变式2、等比数列{an}中，a2=2，a9=32，求q、
（学生自己动手解答。）
说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1，q，n，an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。
6、探索等比数列的性质
类比等差数列的性质，猜测等比数列的性质，然后引导推证。
7、性质应用
例3、在等比数列{an}中，a5=2，a10=10，求a15
（让学生自己动手，寻求多种解题方法。）
方法一：由题意列方程组解得
方法二：利用性质2
方法三：利用性质3
例4（见教材例3）已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证：{an·bn}是等比数列。
8、小结
为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。
1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列
2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。
3、等比数列应注意那些问题（a1≠0，q≠0）
4、等比数列的图像
5、通项公式的应用（知三求一）
6、等比数列的性质
7、等比数列的概念（注意两点①同号两数才有等比中项
②等比中项有两个，他们互为相反数）
8、本节课采用的主要思想
——类比思想
9、布置作业
习题3、41②、④3、8、9、
10、板书设计
知识点是在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。下面是等比数列知识点总结，请参考！
等比数列知识点总结
1、等比数列的定义：
2、通项公式：
a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首项：a 1；公比：q
a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1推广：a n =a m q n -m q n -m =
3、等比中项：
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1
（2）当q ≠1时，S n =
=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
（3）通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法： a 依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n a m =a s a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
a k （4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{}，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 为非零b n a n
常数）均为等比数列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列
（7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比数列
（8）若{a n }为等比数列，则数列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
a 1>0，则{a n }为递增数列{（9）①当q >1时，a 1<0，则{a n }为递减数列
a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0 ③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q<0时, 该数列为摆动数列. （10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N *) 时，S 奇1= S 偶q 二、 考点分析 考点一：等比数列定义的应用 141、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，则a 4=_________． 33 2、在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，则该数列的通项a n =______________． 考点二：等比中项的应用 1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ） A ．-4 B．-6 C．-8 D．-10 2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C．2 D ．不确定 203、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的`通项公式． 3 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 2911、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383 A ．3 B．4 C．5 D．6 2、已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_________________． 3、若{a n }为等比数列，且2a 4=a 6-a 5，则公比q =________． 4、设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则 A ．2a 1+a 2的值为（ ） 2a 3+a 4111 B ． C． D．1 428 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 教学过程： 一.复习准备 1.等差数列的.通项公式。 2.等差数列的前n项和公式。 3.等差数列的性质。 二.讲授新课 引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 2细胞分裂模型 3计算机病毒的传播 由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点 进而让学生通过用递推公式描述等比数列。 让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式 注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。 2当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。 所以首项和公比都不可以是0。 3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？ 4以及等比数列和指数函数的关系 5是后一项比前一项。 列：1，2，（略） 小结：等比数列的通项公式 三.巩固练习： 1.教材P59练习1，2，3，题 2.作业：P60习题1，4。 第二课时5.2.4等比数列（二） 教学重点：等比数列的性质 教学难点：等比数列的通项公式的应用 一.复习准备： 提问：等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 等差数列的性质 二.讲授新课： 1.讨论：如果是等差列的三项满足 那么如果是等比数列又会有什么性质呢？ 由学生给出如果是等比数列满足 2练习：如果等比数列=4，=16，=？(学生口答) 如果等比数列=4，=16，=？(学生口答) 3等比中项：如果等比数列.那么， 则叫做等比数列的等比中项（教师给出） 4思考：是否成立呢？成立吗？ 成立吗？ 又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列， 5思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？ 如果是为什么？是等比数列吗？引导学生证明。 6思考：在等比数列里，如果成立吗？ 如果是为什么？由学生给出证明过程。 三.巩固练习： 列3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项 解（略） 列4：略： 练习：1在等比数列，已知那么 2P61A组8
