非欧几何的产生与发展
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非欧几何的发展史 1、1问题的提出非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替，从古希腊时代开始到19世纪的2000多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题，数学家们主要沿2条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9条公理、公设推导出平行公设来，沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔(J,Playfair1748—1819)给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理，但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy，约公元150年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设1．2问题的解决 1．2．1非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里(Sacchairn1667—1733)提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A和角是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断．萨凯里提出另2个假设：(1)钝角假设：角C和角D都是钝角；(2)锐角假设：角C和角D都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特(Lambetr1728—1777)所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第5个角有3种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德(A．M、Legendar1752—1833)对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”，这预示着可能存在着一种新几何，19世纪初，德国人萨外卡特(schweikart1780—1859)使这种思想更加明朗化，他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何(欧氏几何)星形几何，在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”，1．2,2非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提一种新几何并建立其系统的理论，而著名的数学家(Gauss1777—1855)、波约(Bolyai1802—1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793—1856)就这样做了，成为非欧几何的创始人，高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人，早在1792年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．2。
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非欧几何发展史的启示 非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵(M．Klein)在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2．1对数学学科本身 2．1．1数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题，但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验，非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂LlJ．2．1．2数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造m几何理论，然后由此决定他们的空间观，这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的白南，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M．克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治．康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由”’．2．1．3几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深人探讨．2．2文化教育方面 2．2．1非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特(Kant)唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2000a之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合”]，波约对高斯的回答深感失望。
认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争f4Jj’，在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3人发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3人同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2，2，2非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”【5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6】．2．3哲学思想方面 2．3．1认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱(HenriPoincare)说过【7】：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可以在哲学的领域里依靠我们对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过【8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消．2．3．2打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论，如果一个理论尚不能“自圆其说”。
说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导¨{矛盾的结果?传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的…]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2-4对数学科研者 2．4．1勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2000多a来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德同诗人歌德，在他的名著(浮土德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名日：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从l826年发表了非欧几何体系后，又陆续…版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前la，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别ff；那些尚未成熟或现实意义尚未露川来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学T作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，义应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2_4_2正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”【1]】．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100多a的历史过程时指：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到l9世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的m现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2．5对数学教师和数学学习者 2．5．1在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》(1883)．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导m来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界嗣新方法的科学结论”．所以作为一名2l世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2．5_2在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给Ⅲ第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816—1817学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设问，还要激发学生质疑问难．教学中，要鼓励学生在学习过程中碰到的问题提出来并和同学讨论，让学生存在一个充分表现的机会．先对不同问题提供同一思路来解决，之后提出个别条件的变化，要求用新的思路解决，以打破原来的思维定势，使思维灵活而富有创造性．2．5．3非欧几何的历史对高校学生学习数学的意义高校学生可通过对数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣．非欧几何的诞生和发展过程曲折而又艰辛，而数学家们也为之付出了巨大的努力．它于现今和以后的数学学习者有着深远而又积极的意义和影响．知识的学习和研究永无止境，只有通过不断的创新和探索，才有新的知识的创造和新知识领域的发现．“读史使人明智”，学习非欧几何学发展史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，都有重要意义．非欧几何的产生 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗氏几何 罗氏几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：黎曼几何 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”
黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。
它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
公设的不同 同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
三种几何的关系 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
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我把回答分成了好几段。
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你一天看一点不就得了。
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过直线外一点如何作至少两条与已知直线平行的直线
画一个无穷大的圆则直线就是这个圆的弦，过直线外一点可以做无穷多条这个圆的弦，和已知直线不相交因为这个圆是无穷大的，所以直线实际已经延伸到了尽头所以只要在这个圆内不相交就可以认为他们平行
皮亚诺的自然数理论’
述：机器证明是使用计算机证明定理，也称为定理的机械证明或自动证明。
作为计算机科学的一个重要课题，它的研究与发展至今约有50年的历史。
在本文中，将试图向您展示机器证明的基本思路和方法。
关键字： 机器证明，演绎推理形式系统p，试探法，判定法，计算机辅助证明，证明算法各门的科学中，都有推理和论证；尤其是在数学中，要通过推理和证明来建立定理，证明的每一个步骤都是通过逻辑推理的规则推出另一些命题。
从它们出发进行推理的命题称为前提，由此而推出的命题称为结论。
我们来看一个例子。
数学分析研究函数的连续性的时候，证明了由下面的前提 1) 函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 2) f(a)与f(b)异号。
能推出结论 3) 有c，使得a 这项工作（推理与证明），一直是由数学家来做的；这是他们的生计。 但是，是否有其他的可能 比如，将可用机器来证明和推理数学定理 这是件有意义而又艰难的工作；推理和证明是智能的体现，而人工智能，是人类一直的梦想之一。 这需要几个条件。 首先，我们要把推理和证明作为研究对象，加以详细研究。 以往的任何数学分支，都有自己的研究对象，但都不研究它们所共同使用的逻辑推理规则；数理逻辑则是这样的一个条件，它把推理和证明作为数学对象来研究。 只有对推理和证明等人类思维活动本身有足够的认识，我们才可能把这项工作交给机器来做。 其次，计算机必须有相当的发展。 这是毫无疑问的，但往往是相互促进，而并非一方完美后，另一方才能发展。 有了这些条件后，如果产生了需要，机器证明将成为可能；而事实上这种需要产生了。 下面我们将试图展示机器证明的奥秘。 可是，本文非正规的学术论文，所以您将看到并不严格的描述和形式化工具交替出现的情况。 但介绍机器证明，是本文毫无疑问的目的。 当然，需要简单引述数理逻辑的知识。 数理逻辑以推理和证明作为数学对象来研究，它起始于莱布尼茨试图对思维符号化的工作。 到如今以是硕果累累，有着丰富的知识体系。 一般本科阶段可接触到命题逻辑和谓词逻辑部分，而研究生阶段将详细研究其它高等数理逻辑内容（计算机专业的教学计划）。 我们以最简单的命题逻辑“演绎推理形式系统p”为例让您初步了解数理逻辑的特点。 数理逻辑的主要特点是“形式化”，具体的讲，就是把“数学推理”形式化。 而通俗一点，则是把前提和结论，以及前提得到结论这个推理过程都“符号化”为一个系统，形式系统。 形式系统具有严格的定义，而这里，您可以暂时认为，形式系统是由4个集合构成：字母表或符号库，字集或公式集，公理集，规则集；公理集是公式集的子集，规则集则是有公式集上的运算构成。 如演绎推理形式系统p的定义：p的字母表中含有： (1)命题变元：p1，p2，...，pn，...； (2)联结词：┐，→； (3)辅助符号：(，)；p的公式如下归结定义： (1)命题变元是公式； (2)若α是公式，则(┐α)是公式； (3)若α，β是公式，则(α→β)是公式； (4)所有公式都是有限次使用(1)-(3)得到。 p的公理集有三类： (1) α→(β→α) (A1) (2) (α→(β→r)) →((α→β)→(α→r)) (A2) (3) ((┐β)→(┐α)) →(α→β) (A3)p的形式规则: 分离规则：α→β,α┣β (M) 这个系统将胜任命题逻辑的推理证明工作。 但是，我给您强调这样一个观念，形式系统中的公式，只是满足一定要求的符号串，在给于它们语义之前，“形式推理”是一列符号串变换。 比如，对于规则(M)： α→β,α┣β您不要在心里念叨：如果α为真，α→β为真，则β为真 这是符号串的变换规则，不存在真与假的概念。 您不妨就这样看，比如由字符串(公式：)α，可以推出β→α： (1) α→(β→α) (A1) (2) α (3) β→α (M)(1)(2)这样的一个序列，也就是形式推理。 当然，作为技术人员，我想不看到它的语义部分，大家多半会不放心，这个形式系统p，它有什么用途 但若展开了说，本文就成了数理逻辑的介绍了。 这样，有兴趣的读者可参考注1提供的参考资料。 我们来看一看人类的推理证明过程的例子： 在演绎推理形式系统p中证明： ┣ (α→β)→(α→α) 这是个有趣的逻辑思维锻炼，由p的公理集和规则集来推导出这个公式；我想，您可以想到这个序列： (1) α→(β→α) (A1) (2) (α→(β→α))→((α→β)→(α→α)) (A2) (3) (α→β)→(α→α) (M)(1)(2)事实上，我们的思路可以是这样的：由待证明的 (α→β)→(α→α)，对照看三类公理的特点，您不觉得眼前一亮：公式(α→β)→(α→α)可对应于(A2)的右端，让α代替r；毫无疑问由规则(M)，我们希望α→(β→α)成立，而这是(A1) 我们就可以写下这个证明序列了。 对于复杂的问题，这“眼前一亮”，对人类来讲也绝非一个轻松的工作。 更何况，我们希望我们的计算机也可以“眼前一亮” 机器证明是困难的，但仍不是没有希望做的完美些。 希望您不至于对理论科学感到厌烦。 下次我们将展开机器证明的奥秘。 1.说来惭愧，虽然学习汉语言文学已有几年，但对墨子知之甚少。 今天，无意中看到了余秋雨老师的一篇博文——《黑色的光亮》，才知道墨子，乃至他的弟-子们原来是那样的无私、无畏，令人敬佩。 博文中，余秋雨老师层层展开对比，语言深入浅出，使墨子的形像一下子就生动起来。 印象最深刻的是这样两个小故事：墨子为了阻止一场战争，日夜不停，整整走了十天十夜，终于从山东的泰山脚下走到了湖北的荆州。 他不眠不休、夜以继日，纵使受了伤也毫不在乎、从不停留，只为一个目的：阻止战争，捍卫和平。 遥想那漫长坎坷的旅途，要想那极其艰辛的十天，我不得不佩服墨子的坚忍不拔、一心为民。 墨家一百多名弟-子受某君委托守城，后来此君因受追究而逃走，墨家所接受的守城之托很难再坚持，一百多名弟-子全部自杀。 那该是一幅多么惨烈，多么悲壮的场景呀!为了信守诺言，不惜慷慨赴死，多了不起的墨家精神呀!余秋雨老师的这篇文章，为我开启了一扇认识墨子的大门，也让我永远记下了这八个字：兼爱，非攻，尚贤，尚同。 2. 中国的文坛巨匠,老牛平生钦佩三人.一为鲁迅,是敬佩先生的人格魅力.他的完全无所求的境界,是人间少有,宁可无徒而自清,也不愿随波逐流.二是金庸,是折服于他的博学与造诣.牛敢断言,金庸先生将会成为继四大名著作者之后的第五大文学泰斗,领今后百年甚至更长时期的文坛风骚.三者余秋雨,是向往他的广泛的阅读能力.他的社会学者的高度的历史责任感为当代之万一,宁可放弃多少人为之不择手段的领导职务,而在挖掘失落的中华文明的同时,唤醒了沉睡百年的民族文化的闪光记忆.对鲁迅先生的定位,是伴随着老牛少年的成长历程不断深刻的.在牛的受教育的过程里,先生的精神始终涤清着牛的灵魂,他的身影在牛心中愈来愈显高大光辉.而金庸则是在中学时代大量阅读了他的文学作品之后,在感受他的深邃智慧和行云流水毫无做作的文学造诣之后,蓦然回首,顿悟巨人风范,遂感叹不已.及至秋雨先生,一本<文化苦旅>将我带进了似乎陌生但又与我血脉相连的原本阴暗的光明的所在.让我感到兴奋,感到亲切,也感到了慷慨.是他不辍的执着,扮演了一位历史文化的拾贝者的社会角色.才使得中国传统文化得以继承和发扬光大.透过<黑色的光亮>,首先感受到的是余秋雨老师唯美的理想状态,他的希望世界大同的美好愿望,在他对于墨子的主观理解和偏爱情结影响之下,字里行间流露出惺惺相惜的感情-色彩.尽管牛的观点与老师有着根本的不同,但他的热情和博爱的理想与希冀却被我深深地理解了.墨子,是属于被国人遗忘的文化巨子.他作为社会底层阶级的代言人,深刻同情并不断争取着基层百姓的生命价值和社会待遇.以兼爱,非攻的基本指导思想演绎着一个思想家艰难的播种过程.然而,收获却少得可怜.是什么原因导致思想传播的失败呢?老牛说,不合适宜.墨子的思想,如果放在一个传统文化根基不很牢固,民族渊源的痕迹不很明显的国家里,也许会被社会主流所接受;但在中国,在那样一个百花齐放,百家争鸣的政治和文化都处于激烈碰撞和竞争的时代,比较之下,就暴露出了其中的缺陷.让我们从中国古典哲学的层级效能上来区分诸子思想的历史地位.概括起来,在当时而且对后世产生积极深远影响的当数道,儒,法,墨各家文化的代表了.他们彼此影响,互相渗透,却又始终坚持自己的文化立场,最终形成了门类清晰的学科划分.从理论来源上讲,诸子思想皆来自于<易经>,是<易>的哲学思想的部分继承和发展国学是一座庞大的蕴涵丰富文化内涵的年久失修的文物古迹,急需我们来抢救和修缮,在我们对这座古迹进行恢复的时候,不要忘了,在保留传统特征的同时,要大胆改革,毅然把不合时宜而且落后的建筑技术和风格摈弃掉,而更新以现代的先进的技术手段和工艺文化,赋予她新的生命力.让这位伟大的凤凰在浴火涅磐后再次得到新生.判决书从哪些方面展开分析?
