关于悖论
悖论，亦作吊诡或诡局（在有些场合“佯谬”是悖论的别名），是指一种导致矛盾的命题。
悖论的英文paradox一词，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
英文paradox其实亦有“似非而是”的解释。
即是用普通常识看上去不正确，但其实是正确或是有可能的。
例如“站着比走路更累”。
一般常识是走路比站着累。
但要一个人例如在公园里站一个小时，他可能宁愿走动一个小时， 因为“站着比走路更累”。
也例如狭义相对论里面的双生子佯谬(Twin Paradox) 亦是另外一个例子。
[编辑] 经典悖论古希腊四大悖论 两分法悖论 芝诺悖论 飞矢不动 游行队伍悖论 钱包悖论 谎言者悖论 集合论悖论 辛普森悖论 苏格拉底悖论 书目悖论 唐·吉诃德悖论 Braess悖论 罗素悖论 (理发师悖论) 祖父悖论 生日悖论 伊壁鸠鲁悖论 全能悖论 意外绞刑悖论 全知者悖论 运动场问题（英文：The dichotomy paradox）是芝诺（Zeno）提出的四个悖论中的第一个，又称为两分法悖论。
其实四大悖论的关键就是人们没有了解自然界的一个重要概念——“率”的概念。
讨论任何“变化”的问题的时候，忽略了变化发生的时候，另一个条件也在同时变化。
例如讨论距离的变化的时候，如果你只考虑长度的变化，而忽略了在长度变化时另一个条件“时间”必定也在变化。
这就是速率。
在速度变化时，有了加速度的概念。
加速度变化时，照样可以用加速度变化的多少和时间变化的多少来表示。
哲学是认识世界的方法和理论。
虽然我们一旦发现了率的概念，立刻就可以破解所谓“单一条件变化悖论”，但是悖论的意义就在于激发人们寻找世界真像的好奇心。
在这4大经典悖论中，我们发现世界的变化并不是单一条件独立变化的，而是多条件同时变化的，这是事实。
我们可以用距离除以时间来定义速度，但是速度本身是现实的独立的存在，而不依靠距离和时间。
利用距离和时间来表示，仅仅是人们用自己能够感知的概念来表示难以感知和表示的事务罢了。
比如我们天天坐汽车，但是我们难以直接感知汽车加速度的变化。
但是简单的公式就可以表明这个变化了。
悖论的内容因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。
即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。
如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。
最后“一半距离”几乎可被视为零。
这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。
这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。
因此，我们得出了运动不可能开始的结论。
见《庄子天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。
”[编辑] 悖论的解释其实此悖论的解释如下：此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。
也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真
但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。
什么时候速度为0呢
一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。
此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。
这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。
[编辑] 物理点结构其实这个悖论有一种解释。
实际上我们日常也知道任何物体必定能在有限的时间内穿越两个点，因此这个悖论必定有解释。
因为空间并不能无限地分割下去，而最小的分割限度是叫做普朗克长度。
这个尺度不可以再分割成更小的尺度，因为这已经是空间里面最小的尺度了。
因此，所谓的“一般距离”虽然会越来越小，可是只会小到一个数值后就不能再分割。
一个悖论裏的问题：句子一，下一个句子是对的；句子二，下一个句子是错的。
判断哪个对
哪个错
罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x∉S}”。
那么问题是：S属于S是否成立
首先，若S属于S，则不符合x∉S，则S不属于S；其次，若S不属于S，则符合x∉S，S属于S。
说谎者悖论，又叫谎言者悖论。
西元前6世纪，克里特哲学家埃庇米尼得斯说了一句很有名的话：“我的这句话是假的。
”句话之所以有名在于它没有答案。
因为如果埃庇米尼得斯的这句话是真的，那就不符合这句话“我的这句话是假的”，则这句话是假的；如果这句话是假的，那就符合这句话“我的这句话是假的”，则这句话是真的。
因此这句话是无解的。
这就是一个自我指涉引发的悖论。
柏拉图-苏格拉底悖论。
柏拉图说：“苏格拉底的下句话是错误的”。
苏格拉底说：“柏拉图说得对。
”不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。
两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。
阿基里斯悖论。
公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t\\\/10,乌龟仍然前于他10米。
当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t\\\/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。
外祖母悖论。
如果一个人真的“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母，那么这个跨时间旅行者本人还会不会存在呢
这个问题很明显，如果没有他的外祖母就没有他的母亲，如果没有他的母亲也就没有他，如果没有他，他怎么“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母。
有哪些经典的数学悖论和科学悖论
数学悖论：说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等；科学悖论： 阿基里斯悖论、二分法悖论、
“我在说谎”的悖论
“说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念，这类悖论被称为“语义学悖论”。
语义学悖论的实例很多，“格列林（K.Grelling）-（L.Nelson）悖论”就，它与形容词的应用有关： 将形容词分为两类，一类称为“自谓的”，即可对于它们自身成立、对自己为真的。
例如，形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的，“English（英文的）”本身是英文的，它们都是自谓的。
另一类称为“它谓的”，即对于它们自身不成立、对自己不真的。
例如，形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的，因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的，因为这个词是中文的而不是英文的。
问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的
得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的，那么会推出“它谓的”不是它谓的，反之亦然。
导致了自相矛盾。
集合论悖论与公理化 另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“”或“集合论悖论”。
集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。
所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。
例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。
需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家所主张的“潜无限”观念。
所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。
例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。
然而，在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“”，亦称“最大基数悖论”。
与此同时，还发现了其他集合论悖论，最著名的是1901年的“罗素悖论”： 把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，N本身不是一个自然数，因此N是正常集。
）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。
（例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。
）每个集合或者为正常集或者为异常集。
设V为全体正常集所组成的集合，即V={x：x?埸x}，那么V是不是正常集
如果V是正常集，由正常集的定义知V?埸V，又因V是全体正常集的集合，所以正常集V∈V，但这说明V不是正常集，是异常集；反之，如果V不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知V∈V，这说明V是全体正常集组成的集合V的元素，因而V又应该是正常集。
罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的，如果把数学建立在集合论的基础之上，将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕，这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆。
一石激起千层浪，一场关于数学基础问题的论战爆发了。
在这场论战中，最为激进的是以荷兰数学家为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。
与此相反，另一些数学家走上了改良的道路，他们试图亡羊补牢，对集合论加以适当的修正，以避免悖论。
这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。
公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。
概括原则可表述为：满足性质P的所有对象可以组成一个集合S，即S={x：P（x）}，其中的P（x）意为“x具有性质P”。
这就认定了任何性质可以决定一个集合，于是前述的F 和V名正言顺地成了集合，悖论也应运而生。
在公理集合论的ZF系统中，用如下的“分离原则”取代了概括原则：若C是一个集合，则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x：x∈C且 P（x）}，即在C是集合的前提下，任何性质可以决定它的一个子集。
公理化的结果是：只有正常集才能成为集合，异常集则不能，F和V都不是集合，罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免。
就公理集合论能避免已有的集合论悖论，并在此基础上可以进一步发展数学而言，它是成功的。
遗憾的是，人们并不能证明公理集合论系统的相容性，即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾。
此外，现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”，但这又将导致某些违背人们直觉的怪论（例如“分球怪论”）。
因此，公理集合论的处理方式，尤其是选择公理的使用，仍有进一步讨论的必要。
对悖论的一些深入探讨 罗素悖论的发现，也促进了对于悖论（包括语义学悖论）成因的深入思考。
1905—1906年间，在一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断。
所谓非直谓定义是指：借助于一个总体来定义一个概念（或对象），而这个概念（或对象）本身又属于这个总体。
这种定义是循环的（罗素称为“恶性循环”），或者说是“自我涉及”的。
例如，异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此。
因为，F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的，而F本身又是这一总体中的一员。
考察语义学悖论，也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹。
例如，“说谎者循环”就是A，B两个人的话彼此循环，而格列林-悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义，则涉及了形容词对于自身的真假。
1931年，（A.Tarski）在《形式化语言中的真概念》一文中，提出了“语言层次”的理论。
虽然这一理论主要是针对形式语言的，但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义。
塔尔斯基认为，日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达式，又包含了陈述这些语言表达式语义性质（例如“真”、“假”）的语句。
这是语义悖论产生的根源。
要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义，就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言（称为“对象语言”），而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言（称为“元语言”）。
“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假，混淆了语言的层次而造成的。
1975年，当代著名逻辑学家克里普克（S.A.Kripke）在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案。
其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词（“真”或“假”）的语句，必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句。
例如，要判断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假，就要看“净水是无色透明的”这句话对不对，后一句话不包含真值谓词，并且它的对错是可以判断的，因此，前一句话是有根的。
只有有根的语句才可以判断其真假，无根的语句则不行。
“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的，这是悖论的基本特征。
新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响，语言逻辑学家注意到：许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义，也与说话时的语境（包括语言使用者）等语用因素密切相关。
以“说谎者悖论”为例，当某人说“我正在说谎”时，这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言。
但是，“‘我正在说谎’是假的”这一语句，却不能在同样的语境中陈述，陈述它的是另一种语境。
因此，悖论的根源不在于“自我涉及”，而是因为不同的语境。
只要分清每一句话的语境，许多所谓的“悖论”就不再是真正的悖论了。
