蝴蝶效应如何用数学来解释
（ The Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。
这是一种混沌现象。
蝴蝶在热带轻轻扇动一下翅膀，遥远的国家就可能造成一场飓风。
基本概念关于蝴蝶效应美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）1963年在一篇提交纽约科学院的论文中分析了这个效应。
“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确，一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。
”在以后的演讲和论文中他用了更加有诗意的蝴蝶。
对于这个效应最常见的阐述是：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起的一场龙卷风。
”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
它称之为混沌学。
这句话的来源，是这位气象学家制作了一个电脑程序，这个可以模拟气候的变化，并用图像来表示。
最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只张开双翅的蝴蝶，因而他形象地将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释，于是便有了上述的说法。
蝴蝶效应通常用于天气、股票市场等在一定时段难以预测的比较复杂的系统中。
此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
蝴蝶效应在社会学界用来说明：一个坏的微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。
编辑本段理论基础 蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。
其大意为：一只南美洲亚马逊河流域 爱德华·罗伦兹热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。
其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。
它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象。
输入端微小的差别会迅速放大到输出端。
蝴蝶效应在经济生活中比比皆是：中国宣布发射导弹，港台100亿美元流向美国。
“蝴蝶效应”也可称“台球效应”，它是“混沌性系统”对初值极为敏感的形象化术语，也是非线性系统在一定条件（可称为“临界性条件”或“阈值条件”）出现混沌现象的直接原因。
编辑本段理论含义 某地上空一只小小的蝴蝶扇动翅膀而扰动了空气，长时间后可能导致遥远的彼地发生一场暴风雨，以此比喻长时期大范围往往因一点点微小的因素造成难以预测的严重后果。
微小的偏差是难以避免的，从而使长期具有不可预测性或不准确性。
这如同打台球、下棋及其他人类活动，往往“差之毫厘，失之千里”、“一招不慎，满盘皆输”。
长时期大范围是对于地球大气这个复杂系统进行观测计算与分析判断，它受到地球大气温度、湿度、压强诸多随时随地变化的因素的影响与制约，可想其综合效果的预测是难以精确无误的、蝴蝶效应是在所必然的．我们人类研究的对象还涉及到其他复杂系统（包括“自然体系”与“社会体系”），其内部也是诸多因素交相制约错综复杂，其“相应的蝴蝶效应”也是在所必然的。
“今天的蝴蝶效应”或者“广义的蝴蝶效应”已不限于当初洛仑兹的蝴蝶效应仅对天气预报而言，而是一切复杂系统对初值极为敏感性的代名词或同义语，其含义是：对于一切复杂系统，在一定的“阈值条件”下，其长时期大范围的未来行为，对初始条件数值的微小变动或偏差极为敏感，即初值稍有变动或偏差，将导致未来前景的巨大差异，这往往是难以预测的或者说带有一定的随机。
蝴蝶效应是说，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
有些小事可以糊涂，有些小事如经系统放大，则对一个组织、一个国家来说是很重要的，就不能糊涂。
编辑本段概念由来 洛伦兹曲线 - 知识 “蝴蝶效应”的概念，是气象学家洛伦兹1963年提出来的。
为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。
洛伦兹曲线 - 知识它的由来是这样的：1963年的一次试验中，气象学家洛伦兹用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。
为了更细致地考察结果，在一次科学计算时，洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入。
他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。
而当他喝了杯咖啡以后，回来再看时大吃一惊：本来很小的差异，前后计算结果却偏离了十万八千里!前后结果的两条曲线相似性完全消失了。
再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。
后来，洛伦兹在一次演讲中提出了这一问题。
他认为，在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。
于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性。
他于是认定这为：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”。
从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走。
编辑本段内在机制 所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统。
非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述。
正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为。
目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化。
从贬义的角度看，蝴蝶效应往往给人一种对未来行为不可预测的危机感，但从褒义的角度看，蝴蝶效应使我们有可能“慎之毫厘，得之千里”，从而可能“驾驭混沌”并能以小的代价换得未来的巨大“福果”。
蝶效应用的是比喻的手法，并不是说蝴蝶引起的飓风。
“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。
混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。
这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
有点不可思议，但是确实能够造成这样的恶果。
一个明智的领导人一定要防微杜渐，看似一些极微小的事情却有可能造成集体内部的分崩离析，那时岂不是悔之晚矣
横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始。
“蝴蝶效应”的理论以实证手段证明了中国1300多年前：“曰：‘君子慎始，差若毫厘，谬以千里。
’”：“但气有盈虚，黍有巨细，差之毫厘，失之千里。
”的哲学思想，从这点说明感知比认知来得直接，其所谓的吸引子就是中元外场作用，其的非线性理论就是场中对象元独立的绝对计数时间体系。
蝴蝶效应的研讨意义：混沌和非混沌，逻辑演绎系统和断层之间的选择问题，就是我们关注蝴蝶效应的意义所在，中国古代也有学派注重善始善终的问题，是说善于展开一个系统，也善于结束这个系统，以这个为目的而研究的方法论。
进而，可以说，蝴蝶效应实质是一种方法论，这种方法论，承认系统的边界，是建立在宇宙无限论之上的探讨宇宙的有限性的方法。
中国昔者纣为象箸而箕子怖。
以为象箸必不加于土鉶，必将犀玉之杯。
象箸玉杯必不羹菽藿，则必旄象豹胎。
旄象豹胎必不衣短褐而食于茅屋之下，则锦衣九重，广室高台。
吾畏其卒，故怖其始。
居五年，纣为肉圃，设炮烙，登糟邱，临酒池，纣遂以亡。
故箕子见象箸以知天下之祸，故曰：『见小曰明。
』 商纣的王叔箕子见到纣王用象牙筷子就很害怕，因为有了象牙筷子，杯子也换成发犀玉杯，有了象牙筷子犀玉杯就不吃粗食豆汤，要吃牛肉，象肉，豹肉，未出世的胎肉等精美的食物。
吃牛肉象肉豹肉胎肉，就不会穿着短的粗布衣在茅屋中食饭，就穿着很多华衣美服，在华丽的宫殿进食。
箕子怕他亡国。
此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
牛顿确定性理论能够完美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。
因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
从洛伦茨第一次发现混沌现象至今，关于混沌的研究一直是科学家、社会学家、人文学家所关注的。
研究混沌，其实就是发现无序中的有序，但今天的世界仍存在着太多的无法预测，混沌，这个话题也必将成为全人类性的问题。
在此，由于知识有限，我们只是做了极其肤浅的介绍和引入，希望有更多人能走进混沌之门，以更深邃的眼光来审视这个世界。
今后或许能致力于此方面的研究。
编辑本段扇动 气象预报员可以通过向计算机输入差别很细微的数字并重新预测一次而看到这混沌效应。
在最初的几天里，供选择的预报内容将几乎是完全一样的；但是一周以后就看上去十分不同了（除非是处在一种不同寻常的稳定的天气类型中）。
不管这些公式有多么精确，也不管你输入的数据有多好，一周之后那些小到我们无法注意的细微的效应可能会对结果造成显著的影响。
洛伦兹把这称作“蝴蝶效应”（the butterfly effect)他假设一只在巴西丛林里扇动翅膀的蝴蝶会在大气中激起几个月后有可能改变伦敦天气的小旋风。
编辑本段举例 2003年，美国发现一宗疑似疯牛病案例，马上就给刚刚复苏的美国经济带来一场破坏性很强的飓风。
扇动“蝴蝶翅膀”的，是那头倒霉的“疯牛”，受到冲击的，首先是总产值高达1750亿美元的美国牛肉产业和140万个工作岗位；而作为养牛业主要饲料来源的美国玉米和大豆业，也受到波及，其期货价格呈现下降趋势。
但最终推波助澜，将“疯牛病飓风”损失发挥到最大的，还是美国消费者对牛肉产品出现的信心下降。
在全球化的今天，这种恐慌情绪不仅造成了美国国内餐饮企业的萧条，甚至扩散到了全球，至少11个国家宣布紧急禁止美国牛肉进口，连远在大洋彼岸中国广东等地的居民都对西式餐饮敬而远之。
这让人联想到时下的禽流感，最初在个别国家发现的禽流感，很快波及全球，就算在没有发现禽流感的地区或国家，人们也会“谈鸡色变”。
再比如，你能想像得出一个美国人抽烟和中国的通货膨胀有什么关系吗
假设美国现在有一个人抽烟，不小心把没熄灭的烟头扔在了床边，然后出门上班了，大约20分钟后，烟头慢慢引燃床单，火越来越大，逐渐蔓延到左邻右舍，引起煤气罐的连环爆炸。
这时的美国人已经对“恐怖袭击”胆战心惊，而这个肇事者(扔烟头的人)却忘了自己曾扔过烟头，于是在一时无法查明原因的情况下，暂时被定为“恐怖袭击”。
这样，惊恐万状的人们纷纷抛售股票，引起股市大跌。
人们下降的消费信心影响了整个美国经济，最后造成美元贬值，由于美元的持续贬值，使得以美元标价的基础性原材料价格上扬，盯住美元的人民币价格也相应上扬。
从而导致以原材料为基础的商品价格上涨，引发中国的成本拉动型通货膨胀。
这个例子比较夸张，为的只是说明：我们在解释某种经济现象时，如果无法从常规的分析中找到答案，就要考虑那些看起来无关紧要的因素，然而这种因素太多了，也太不可预测了，这也是为什么经济学家总是难以精确地预测具体经济指数的原因。
但也正是这种不可预测性造就了变化多端而丰富多彩的世界。
蝴蝶扇动翅膀都有可能引起龙卷风，那还有什么不可能呢
“没有什么不可能”，恐怕这就是“蝴蝶效应”给我们最大的启示。
1998年亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的“蝴蝶效应”；1998年太平洋上出现的“厄尔尼诺”现象就是大气运动引的“蝴蝶效应”。
“蝴蝶效应”是混沌运动的表现形式。
当我们进而考察生命现象时，既非完全周期，又非纯粹随机，它们既有“锁频”到自然界周期过程（季节、昼夜等）的一面，又保持着内在的“自治”性质。
蝴蝶效应也是混沌学理论中的一个概念。
它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象：输入端微小的差别会迅速放大到输出端压倒一切的差别，好像一只蝴蝶今天在北京扇扇翅膀，可能在大气中引发一系列事件，从而导致某个月纽约一场暴风雨的发生。
1、一滴很小的水滴，如果在雪坡上向下滚动，然后越滚越大 2、洛仑兹将仅仅相差0.0001的两个初始条件输入一个数学方程，计算得出的两条曲线不久就分道扬镳，南辕北辙。
启示 “蝴蝶效应”的初始就是混沌的，在不准确或者说是不精确中产生的，所以什么样的可能都会发生。
“蝴蝶效应”的复杂连锁效应，每天都可能在我们身上发生，我们不可能回到以前去改变我们的过去来改变我们的未来，我们需要的是正确地把握我们的现在，也许，以后的结果就会趋向于好的方面，而走错一步你可能短时间无法发现，但是几十年后断送的，就不仅是你的未来，而是更多。
这是上午在图书馆《青年文摘》上摘的一篇文章中的其中几段，太长了所以就挑了几段抄下来。
因为最近身边有很多朋友（包括自己）一直在道路上迷惘着，彷徨着，不知所措，心情烦躁。
所以我觉得我们都是一直在做决定、改变决定。
因为我们在变化，在成熟，因而我们不断地调整、校准自己的努力方向或是目标。
知道了“蝴蝶效应”，我们是否明白了：人，应该活得积极，要从每一件小事情做起呢
我还想重复文中的一句话：一个好的微小的机制，只要正确引导，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。
有时做一个决定了，虽然很不容易，但是重要的是迈出了第一步。
而你每天也都在做很多看起来毫无意义的决定，但某天你的某个决定就能改变你的一生。
今天看到一段话很好：不要被他人的论断束缚了自己前进的步伐。
追随你的热情，追随你的心灵，它们将带你到你想要去的地方。
希望有所启示。
实际应用 核心理念：看似微不足道的细小变化，却能以某种方式对社会产生微妙的影响，甚至影响整个社会系统的正常运行。
细节决定成败。
应用要诀：关注细节，防微杜渐，注重关联，控制全局。
应用领域：所有事物 学习后可以深刻认识和有效解决如下问题： 1、产品质量问题 2、工作程序问题 3、工作态度问题 4、关键细节问题 5、个人成长问题 6、学习道路问题编辑本段其它相关混沌学 蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。
它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象：输入端微小的差别会迅速放大到输出端，蝴蝶效应在经济生活中比比皆是。
“蝴蝶效应”也可称“台球效应”，它是“混沌性系统”对初值极为敏感的形象化术语，也是非线性系统在一定条件（可称为“临界性条件”或“阈值条件”）出现混沌现象的直接原因。
基因学 蝴蝶效应是基因学理论中的一个现像,现代医学证明，一切疾病均与基因有关。
疾病易感基因是与疾病发生密切相关的一类基因。
携带疾病易感基因的人在没有采取针对性预防措施的情况下，患病的风险性比正常人明显增加。
因此，采用分子技术检测人体细胞中是否含有某类疾病易感基因就可以评估个体患病的风险度，从而为疾病的预防提供早期干预的机会。
基因检测是检测人体细胞中疾病相关（易感）基因的分子检测技术。
先进发达的现代医学科技，可以让我们的寿命延长5年。
积极有效的预防措施，可以让我们的寿命延长25年。
世界顶级未解数学难题都有哪些?
圆的认识(一) 1.圆中心的一点叫圆心,用O表示.一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示.2.圆有无数条半径,有无数条直径.3.圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.圆的认识(二) 4.把圆对折,再对折就能找到圆心.5.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴.6.在同一个圆里,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d＝2r或r＝d\\\/2.圆的周长和半圆的周长：7.圆一周的长度就是圆的周长.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。
8.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14.9.C＝πd或C＝πr.10.1π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26 10π＝31.4圆的面积11.用S表示圆的面积, r表示圆的半径,那么S＝πr^2 S环＝π(R^2-r^2)12.11^2＝121 12^2＝144 13^2＝169 14^2＝196 15^2＝225 16^2＝256 17^2＝289 18^2＝324 19^2＝361 20^2＝40013.周长相等时,圆的面积最大.面积相等时,圆的周长最小.百分数的应用百分数的应用(四)14.利息＝本金乘利率乘时间比的认识15.两个数相除,又叫做这两个数的比.比的后项不能为0.16.比的前项和后项同时乘上或除以一个相同的数(0除外).比值不变,这叫做比的基本性质.六年级全册数学知识点(整个小学阶段和中学都通用，比较重要)基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间 关键问题：确定行程过程中的位置 ：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式） 追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
【公式】 （和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。
【公式】 和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或 和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】 差÷（倍数-1）=较小数； 较小数×倍数=较大数， 或 较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。
【一般】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。
【反向】反向行程问题可以分为“”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
这两种题，都可用下面的公式解答： （速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向】 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差； （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
【列车公式】 （桥长+列车长）÷速度=过桥时间； （桥长+列车长）÷过桥时间=速度； 速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； （顺水速度+逆水速度）÷2=船速； （顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。
仅供参考:【公式】 （1）一般公式： 工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时。
（2）用假设工作总量为“1”的方法解的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。
特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。
） 【】 （1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：有多少个小朋友和多少个桃子
” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2 =8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略） （2）两次都有余（盈），可用公式： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。
问：有士兵多少人
有子弹多少发
” 解（680-200）÷（50-45）=480÷5 =96（人） 45×96+680=5000（发） 或50×96+200=5000（发）（答略） （3）两次都不够（亏），可用公式： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。
有多少学生和多少本本子
” 解（90-8）÷（10-8）=82÷2 =41（人） 10×41-90=320（本）（答略） （4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式： 亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略） （5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式： 盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略） 【鸡兔问题公式】 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只
” 解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔； 36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡； 36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。
（例略） （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。
（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格
” 解一 （4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个） 解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15） ＝1000-18525÷19 =1000-975=25（个）（答略） （“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。
它的解法显然可套用上述公式。
） （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。
鸡兔各是多少只
” 解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2 =20÷2=10（只）……………………………鸡 〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2 =12÷2=6（只）…………………………兔（答略） ***【公式】 （1）不封闭线路的： 间隔数+1=棵数；（两端植树） 路长÷间隔长+1=棵数。
或 间隔数-1=棵数；（两端不植） 路长÷间隔长-1=棵数； 路长÷间隔数=每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=路长。
（2）封闭线路的： 路长÷间隔数=棵数； 路长÷间隔数=路长÷棵数 =每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。
（3）平面植树问题： 占地总面积÷每棵占地面积=棵数 【求分率、百分率问题的公式】 比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率； 增长数÷标准数=增长率； 减少数÷标准数=减少率。
或者是 两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）； 两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。
【增减分（百分）率互求公式】 增长率÷（1+增长率）=减少率； 减少率÷（1-减少率）=增长率。
比甲丘面积少几分之几
” 解 这是根据增长率求减少率的应用题。
按公式，可解答为 百分之几
” 解 这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为 【求比较数应用题公式】 标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数； 标准数×增长率=增长数； 标准数×减少率=减少数； 标准数×（两分率之和）=两个数之和； 标准数×（两分率之差）=两个数之差。
【求标准数应用题公式】 比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数； 增长数÷增长率=标准数； 减少数÷减少率=标准数； 两数和÷两率和=标准数； 两数差÷两率差=标准数； 【方阵问题公式】 （1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。
（2）： （最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。
或者是 （最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人
解一 先看作实心方阵，则总人数有 10×10=100（人） 再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是 10-2×3=4（人） 所以，空心部分方阵人数有 4×4=16（人） 故这个的人数是 100-16=84（人） 解二 直接运用公式。
根据总人数公式得 （10-3）×3×4=84原价等于现价除以打几折打几折等于原价除以现价现价等于原价乘以打几折
作为一名教小学一年级数学的新老师，开场白如何说才能吸引学生
有啥好方法能使一年级孩子喜欢听课
常...
我教比较有经验，我接一个新班的第一堂课是怎么吸生的，希望对你有些帮助。
1、。
（说姓就好，告诉学生叫你什么就可以了。
）2、对学生提出课堂要求。
（我对学生的坐姿要求比较严格：我上课比较喜欢画符号表示对学生的要求。
比如：画一横表示让学生把手平放在桌面，右手放在左手之上；画个“V”表示要求学生把手放在背后，两手相连；还有画翻书的符号等。
）3、然后画符号对学生进行训练。
同时给学生讲笑话、小故事，最好吸引学生，让学生哈哈大笑。
4、告诉学生犯了错误老师会怎么处理。
我一般罚学生就是用挠痒痒的方法，我发现调皮的学生都很怕痒，而且这方法不会让学生家长投诉老师体罚学生，学生也会觉得老师是喜欢他们。
5、常用一些口令。
老师说：“请坐好
”学生回答：“我坐好
”老师说：“小小手
”学生回答：“放桌面
”或“放背后
”老师说：“请安静
”学生回答：“我安静
”老师说：“小眼睛
”学生回答：“看黑板
”或“看书本
”、、、、、、还有很多灵活性的口令，老师可根据不同情况对学生要求。
6、表扬批评。
老师表扬学生或批评学生时，要求学生互动。
老师说：“表扬
”学生竖起大拇指说：“棒棒，你真棒
”或用英语说，同时伴有手势。
老师说：“批评
”学生伸出拳头对被批评的学生说：“，加油
”同时伴有手势。
数学论文 小学四年级 简略
我有一个学生，听懂了到考试的时候，要么不会要么就是做错是，我设计了一个教学，就是“讲题”。
把角色返过来，让她给我讲题。
后来她的家长跟我说，自从参加了的我们讲题训练营，孩子突然化身为小讲师，回到家后，学习就特别努力，一头扎进了课本里，说是每天要给同桌讲题，要提前要把知识点理一下。
青果君告诉你，讲好一道题是有方法的，具体步骤如下：1. 每天讲一道题先拿出一张白纸，把你要讲的这道题涉及的解法和概念写下来。
最好用思维导图的形式表现出来。
2. 将解题过程复述出来在白纸上写下你对这道题的理解，写的时候，想象你在和别人交流，给别人讲这道题。
在讲的时候，解释不清楚的地方，要么就是你的知识还没有完全掌握，要么就是你讲的有问题，没有抓住这道题的实质，这些就是你需要努力深入学习的部分。
3. 不让问题再过夜把刚才给别人讲题时解释不清的部分重新学习，不让问题过夜，直到把那些搞不懂的地方全都可以流畅地写在纸上为止。
4. 回顾反思当我们把所有的概念都弄清楚之后，用自己的话，把这个道题解法重新讲一遍， 只要别人能听懂你说的意思，那就说明你自己的学习成功了。
教为学过程中会促使你更多的去思考，并且把基础知识做到了融会贯通。
这也是一个刻意练习的过程。
