听课反思到底应该怎么写
听课反思 这一学期由语文转到数学，所幸并没有带给我隔科如隔山的感觉，教学实践下来，我认为学科是相通的，不管是语文课还是数学课，一堂课都要有教学亮点，围绕亮点通过多通道方法最终得以达成；不管是语文课还是数学课，教师的引导非常重要，语言要精简但要恰当好处，语文课和数学课，有太多相通的地方。
这一学期听了11节教研课，总体感觉数学课更注重动手操作，在实际操作中让学生经历知识形成的过程，从而更有效地掌握数学知识；也注重当堂课的练习巩固，并能在练习中发现宝贵的错题资源，及时通过多媒体集体分析错误，及时纠正，真正做到以生为本；同时，我也深刻地体会到课堂中数学老师的语言可以没有语文老师来得优美、生动，但一定要严谨、规范；数学课可以没有语文课来得花哨、生动，但一定要扎实、有效。
下面我就钟林男老师的一堂《角的初步认识》来谈谈自己的听课感受。
《角的初步认识》是二年级上册的第三章第一课时内容。
在此之前学生已经认识了长方形、正方形和三角形，基于学生现有的认知结构，林老师将这节课的教学目标定为：使学生初步认识角，知道角的各部分名称，会初步比较角的大小，学会用尺画角，培养学生初步的观察能力和动手操作能力。
纵观整节课，我认为有以下特点：一、创设情境，体验生活化数学上课开始，钟老师开门见山问学生：你们在生活中看到过角吗
那在我们的校园里，哪些地方有角呢
然后利用课件展示主题图——学生熟悉的校园一
对不懂自己的人说的话
怎么暗示他不懂我。
哪位大神帮我推荐个
谢谢啦
不得不说，很多人都面临过这样的问题。
你才高二，能够看出自己的缺点以及不足，这已经很好了。
而且知道体谅父母，也足以看出你的孝心。
既然已经知道问题所在，解决问题的方法有很多。
首先，（额，虽然其实这个应高放在最后，但是因为个人喜好放在前面来说）不要放弃你所擅长的和喜欢的。
这个也许是你以后立足的根本。
其次，听课的前提是预习。
自己在老师讲课之前先看看课本，不要因为看不懂而放弃，自己专心琢磨一下，其实还是会有收获的。
再次，以前落下的，现在要补救的话也来得及。
以前的书本都在，数理化就是抄公式，写在一张小条子，想起来就看看。
文科的东西是总结，就像年代表一样，所有的东西都可以精简再精简~最后成为适合你的，可以记在心里的东西。
最后，对自己有信心。
这点很重要，即使不会，也要暗示自己可以的。
还有啊，其实说真的，成绩这个东西真的不算什么，只是一块敲门砖罢了。
但是没有又不行~ 所以，建议你改善一下自己的学习方法，还有啊，记得劳逸结合的同时，也要对自己狠一点。
补充： 额，又看了一遍你的问题...觉得，其实就你现在的处境而言，把学习刚上去是最好的出路了。
因为你既不想被成绩左右，又不想伤了父母的心。
所以，努力吧。
不要懒惰~千万不要纵容自己~ 补充： 原来，咱是一样的……汗一个先~我也老借钱给别人，然后忘掉....有人还钱的时候才想起来~ 真的不想学习的话，就在自己的课余时间腾出来一点时间专门去学习 画画 。
现在很多大学都有 艺术招生 的，我也是 艺术生 哦……一般二本的线就可以上一本的学校，前提是一本学校有漫画专业。
这个专业的分布，我也不是很清楚，你可以提前查询一下。
自卑 的孩子，都是太善良，怕嘲笑，怕出错，怕给别人添麻烦。
你要 勇敢一点 ，自己想做的，自己喜欢的，就一定要努力。
补充： 车到山前必有路。
不用太担心的……坚持花你的漫画，甚至可以接受专业的指导。
但是，学习也要努力的……因为再怎样，如你所说，我们都是现实的人。
这样说起来，很是两难啊。
自己坚持
希望有一天看见你的漫画~ 补记，我有个朋友也 超级喜欢 画漫画 ，但是 美术专业 其实很难考的。
所以才上了我们专业……但是她一直在坚持呢。
你也要加油~ 补充： 这样的事情，大概父母也有一定的责任吧。
望子 成龙 又不知道该用怎样的方法。
所以才会这个样子，看得出来，你也很心疼他们。
刚开始 画漫画 的人都是 涂鸦 而来的，你有没有经过系统而专业的培训，怎么知道自己一定画不好呢
还有啊，写小说也是件很 随性 而为的事情，我也写啊，只不过没有指着自己会写的很好罢了。
真的，如果有这方面的爱好，一定要坚持。
你最爱的这些东西，将是你人生最 亲切 的财富。
学习，总是自己的事情，不要让任何事情成为不爱学习的理由。
你明白，但是做不到，所以才痛苦。
人生总是在挣扎中度过，相信我，熬过去就好了。
你现在要做的，就是鼓起勇气，克服自己的缺点。
这一关过去了，以后就会顺畅很多~ 记得吃晚饭啊~ 补充： 这样啊。
那还是好好学习为正途……我我我……我也 愁苦 了...但是自己的爱好一定要坚持，画不好也要坚持~ 追问： 谢谢你，让我开朗好多
回答： 呵呵，刚看见这条回复。
话说，在问问上能来来 说这么久估计也就这样了吧~而且还全部都是长篇大论~咱，都是强人啊~顾估计别人一看见这样的答题办法，就已经绕路三里了。
所以啊，害你得不到别的答案了。
就这样 将就 着听我 絮絮叨叨 的说吧。
能够让别人开心，是一件赠人玫瑰手有余香的事情。
当然，听你说你开心，我也会很开心了~就像是努力很久的事情终于有了结局一样。
额，关于现实和梦想。
我想，这世间艰难的事情，但是我们相信未来，我们相信美好。
我们更加的坚信只要努力一定会有回报~说起这些话来，自己都觉得很励志。
呵呵。
但是就现实的解决办法来看.....还是先脚踏实地，努力积攒属于自己的力量，暂且把梦想埋在心里。
不时的拿出来激励自己~ 知道自己得分都有了成果，自己能够承担起梦想的重量，那么，你就可以绽放出世界上最璀璨的花朵了。
万事都需努力，花朵的绽放也是要在寒冬中苦苦等待的。
历史学科的学习方法（精简些，要点概括）
历史学习方法 1、课前预习：在上新课前，要对即将学习的内容认真读一遍，在读的过程中把自己觉得不太理解或有疑问的句子圈画出来，自己有些什么想法或疑问也可写下来。
2、带着问题认真听课和做好笔记：上课时要认真专注地听老师讲解和同学发言，认真思考，积极回答问题，敢于发表自己的意见。
认真做好笔记，把上课的要点、线索记下来，并留出适当的位置，课后将其补充完整。
这样通过动手、动眼、动耳和动脑等多方面的刺激，就能加深对知识的理解记忆。
3、认真做好练习：做练习的最好方法是先复习、后作业。
做练习时要求认真思考，独立完成。
还要求把做错的题目用红笔改过来，并弄清楚自己是哪个方面出错的，如看错题目，审错题意，知识点没有掌握好，或者抄错答案等，根据自己做错的原因采取相应的克服措施。
4、及时循环复习：很多同学对历史知识记的快，但忘的也快，其实这是很正常的现象，“忘记忘记其实就是等于忘了再记”。
这其实就是人类的遗忘规律。
如何解决这个问题呢
在这里我给大家介绍一个很有实用价值的方法：及时循环复习法。
具体做法就是在当天上完新课后就抽几分钟复习下当天的功课，每周可抽十多分钟复习一次本周内学习的内容，月考、段考和期考再系统进行复习等，如此反复循环地进行复习，就能降低遗忘的程度，达到增强记忆的效果。
另外，平时要注意对闲散时间的利用，记忆的东西不一定要花专门的时间来记忆。
同学们有这样的想法，就剩下几分钟了，休息一下就算了。
其实同学们有没有注意积少成多的道理，我们可以算一算每天有几个闲散的几分钟，每个闲散的几分钟去记一点东西的话，那么一个星期、一个月……我们可以记多少东西，大家都来算一算，并且行动起来，你们将会有很大的收获。
同学们关心的问题： 1、如何有效阅读课本：首先通过阅读课本的章节目录，构建本章的知识体系：具体做法是：在阅读每一章时，先找出这章书的起止时间，阶段特征，然后根据每一节的标题内容稍作归类，最后可根据自己的记忆特点写出每一节要记的知识点。
举例说明： 第二章 中国资本主义的产生、发展和半殖民地半封建社会的形成 时间：19世纪60年代——20世纪初 阶段特征：半殖民地半封建社会形成 大事：列强的侵略：第四节 中国边疆地区的新危机和中法战争（阅读） 第五节 甲午中日战争 第六节 瓜分中国的狂潮（阅读） 第八节 八国联军侵华战争 中国人民的抗争与探索：地主阶级：洋务运动 民族资产阶级：维新变法运动 农民阶级：义和团运动 中国资本主义的产生和发展 最后，根据知识结构一点一点地看课本，把课本上讲的每件事的前因后果弄清楚，跟前边的历史事件有联系的就联系起来，重点掌握其背景和影响，如复习甲午中日战争时，我们就可以与第一章的鸦片战争和第二次鸦片战争相联系，重点掌握甲午中日战争爆发的背景、《马关条约》的内容及其影响。
2、记忆历史的一些方法：记忆历史是我们学好历史的前提条件。
因此，学会和掌握一些历史记忆的方法和技巧是很必要的，下面我给同学们介绍记忆的方法。
1）图示记忆法：用各种图表、图形进行历史知识的记忆，这种记忆方法形象、直观，效果比较好。
如学习到立宪派这一内容以后，我们已学了很多的派别，这样我们就把洋务派、顽固派、早期维新派和维新派、革命派和立宪派的出现的时间、代表人物和主张制成一个简表或知识树等图形，并留些空位给以后学到的新内容那就更好了。
2）数字归纳记忆法：①如数字本身的特征来记，如1919年的五四运动，②间隔等差数字记忆，如1911年武昌起义，1913年二次革命，1915年护国运动，1917年护法运动……③一数多项联记，即同一年中发生了哪些事情，如1861年清政府设总理衙门，曾国藩设安庆内军械所，俄国1861年农奴制改革，美国南北战争爆发…… 3）关键词语记忆法：对于一些知识点我们也可以利用句子中的关键词来帮助记忆。
如辛亥革命的功绩：我们可以借助“推翻”、“建立”、“打击”、“深入”、“创造”、“推动”等关键词来提示我们。
4）利用关键词和谐音法记忆不平等条约：如1842年中英《南京条约》主要内容：首先挑选关键词依次为“割地、赔款、开口岸、协税”。
其次，用谐音法记为“哥哥赔五（双）鞋”，解释：“哥哥”──谐“割”音，指割地；“赔”──赔款；“五”──五口通商；“（双）”──辅助记忆，无实义，下同；“鞋”──谐“协”音，指协定关税。
又如：1860年中英、中法《北京条约》主要内容，首先，挑选关键词为“认天约、开天津、割九龙、准华工、增赔款”。
可用谐音法记为“准（许）天天陪酒”，解释：“准”──准许华工出国；“天天”──清政府承认《天津条约》有效，增开天津为商埠；“陪”──谐“赔”音，指对英、法两国赔款各增至 800 万两白银；“酒”──谐“九”音，指割让九龙司地方一区给英国。
很多同学还问及材料题和问答题的做法，这些问题就希望在老师讲评时，大家认真听，这样就能提高这方面的能力了，同时我们也很希望大家与老师多交流。
希望我的回答对你能有帮助
满意望采纳，谢谢
什么是微课
微课有什么特点
一介微课微课是指按照新课程标准及实践要求，以多媒体资源要载记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点(重点难点疑点)或教学环节而开展的精彩教与学活动全过程。
二、微课的主要特点：(1)教学时间较短:教学视频是微课的核心组成内容。
根据中小学生的认知特点和学习规律，微课的时长一般为5-8分钟左右，最长不宜超过10分钟。
因此，相对于传统的40或45分钟的一节课的教学课例来说，微课可以称之为课例片段或微课例。
(2)教学内容较少:相对于较宽泛的传统课堂，微课的问题聚集，主题突出，更适合教师的需要:微课主要是为了突出课堂教学中某个学科知识点(如教学中重点、难点、疑点内容)的教学，或是反映课堂中某个教学环节、教学主题的教与学活动，相对于传统一节课要完成的复杂众多的教学内容，微课的内容更加精简，因此又可以称为微课堂。
(3)资源容量较小:从大小上来说，微课视频及配套辅助资源的总容量一般在几十兆左右，视频格式须是支持网络在线播放的流媒体格式(如rm,wmv,flv等)，师生可流畅地在线观摩课例，查看教案、课件等辅助资源;也可灵活方便地将其下载保存到终端设备(如笔记本电脑、手机、MP4等)上实现移动学习、泛在学习，非常适合于教师的观摩、评课、反思和研究。
(4)资源组成\\\/结构\\\/构成情景化:资源使用方便。
微课选取的教学内容一般要求主题突出、指向明确、相对完整。
它以教学视频片段为主线统整教学设计(包括教案或学案)、课堂教学时使用到的多媒体素材和课件、教师课后的教学反思、学生的反馈意见及学科专家的文字点评等相关教学资源，构成了一个主题鲜明、类型多样、结构紧凑的主题单元资源包，营造了一个真实的微教学资源环境。
这使得微课资源具有视频教学案例的特征。
广大教师和学生在这种真实的、具体的、典型案例化的教与学情景中可易于实现隐性知识、默会知识等高阶思维能力的学习并实现教学观念、技能、风格的模仿、迁移和提升，从而迅速提升教师的课堂教学水平、促进教师的专业成长，提高学生学业水平。
就学校教育而言，微课不仅成为教师和学生的重要教育资源，而且也构成了学校教育教学模式改革的基础。
(5)主题突出、内容具体。
一个课程就一个主题，或者说一个课程一个事;研究的问题来源于教育教学具体实践中的具体问题:或是生活思考、或是教学反思、或是难点突破、或是重点强调、或是学习策略、教学方法、教育教学观点等等具体的、真实的、自己或与同伴可以解决的问题。
(6)草根研究、趣味创作。
正因为课程内容的微小，所以，人人都可以成为课程的研发者;正因为课程的使用对象是教师和学生，课程研发的目的是将教学内容、教学目标、教学手段紧密地联系起来，是为了教学、在教学中、通过教学，而不是去验证理论、推演理论，所以，决定了研发内容一定是教师自己熟悉的、感兴趣的、有能力解决的问题。
(7)成果简化、多样传播。
因为内容具体、主题突出，所以，研究内容容易表达、研究成果容易转化;因为课程容量微小、用时简短，所以，传播形式多样(网上视频、手机传播、微博讨论)。
(8)反馈及时、针对性强。
由于在较短的时间内集中开展无生上课活动，参加者能及时听到他人对自己教学行为的评价，获得反馈信息。
较之常态的听课、评课活动，现炒现卖，具有即时性。
由于是课前的组内预演，人人参与，互相学习，互相帮助，共同提高，在一定程度上减轻了教师的心理压力，不会担心教学的失败，不会顾虑评价的得罪人，较之常态的评课就会更加客观。
如何上好微课
1、精心取舍课题内容，突出教学重点。
既然上的是微课，那势必不可能像正常课堂那样大容量的教学，要在有限的短时间内完成教学任务，必须首先精选课题内容。
2、构建完整的课堂结构，教学过程要精炼。
（1）切入课题要新颖迅速由于微课要求时间的短少，必须要求切入课题要迅速，同时还能吸引学生，所以对切入课题的方法大有必要作些文章。
（2）讲授线索要明亮醒目尽管所有课程都要求讲授线索清晰醒目，但在微课的讲授中，更要求尽可能的只有一条线索。
在这一条线索上突出重点内容，显露出来的是内容的主干，剪掉的是可有可无的举例、证明这些侧枝旁叶。
（3）收尾要快捷一节课的小结是必不可少的，它是内容要点的归纳、指出和强调。
好的总结可以对讲授的内容起到提纲携领的作用，可以加深学生所学内容的印象，减轻学生的记忆负担。
（4）板书要精简清晰板书是一个教师教学基本功的体现。
板书的作用是展示授课人讲述内容的要点，帮助听课人掌握所听内容的要点。
（5）力求创新，亮点耀眼。
这个亮点可以是深入浅出的讲授，可以是细致入微的剖析，可以是激情四溢的朗诵，可以是精妙完美的课堂结构，可以是准确生动的教学语言等等，微课教学有了自己独特的亮点，就能提升微课的水准。
3、讲授人表现要干练，语言要准确，简明。
在微课中，由于受时间的限制，语言的准确简明显得更为重要。
它并不是语速的快捷。
高一如何制定学习计划 必须要精简扼要
根据我的经验，我觉得首先必须跟着老师的进程走，认真听课，做笔记，然后每天晚上睡觉前复习一遍自己当天学的，如果有经济实力的话可以请家教，一对一辅导，可以让家教老师帮你总结一下自己学的知识，也可以问他自己不会的问题，这样效果会比较好。
对于数学，我的经验是数学也是需要记忆的，上课老师讲的公式，定理下课一定得背会，而下课需要做大量的例题，拓展自己的思路。
而数学与物理的学习方法是想通的。
对于被称为理科当中的文科的化学生物的话，就需要背大量的东西，这就更需要上课认真听讲了。
课下可以做一定量的题英语还是老一套，多听，多背，多练
教学反思与总结
教学反思与总结作为一名老师，上一节课难，上好一节课更难，从你走进教室的那一刻起就要时刻注意自己的言行举止，意思都不能马虎，因为你的任何行为都对学生产生或多或少的影响，如果只是为了上一节课而上课的话，那就太肤浅了，尤其对一些新的老师来说，要及时进行反思，每上完一节课，做一个简单的总结，这样才能取长补短，在短时间内取得更大的进步。
现我就上节课杜老师的一节课做一简单总结。
教学思路：老师上一节课，主要运用的是巴甫诺夫的学习理论，即学习是刺激与反映的连接的过程。
在教学过程中，为了引导学生更好的理解，她也很自然的把这一理论运用其中。
教学方法：老师在一节课中运用了我国中学教学方法中常用的几种方法，如：1）讲授法即教师通过口头语言向学生传授知识的方法。
2）谈论法又叫问答法。
它是教师按一定的教学要求向学生提出问题，要求学生回答，并通过问答的形式来引导学生获取或巩固知识的方法。
谈论法特别有助于激发学生的思维，调动学习的积极性，培养他们独立思考和语言表述的能力。
4）练习法即学生在教师的指导下，依靠自觉的控制和校正，反复地完成一定动作或活动方式，借以形成技能、技巧或行为习惯的教学方法。
教学评价：当然，在有诸多优点的同时，还是有一些不足之处：（二）、尽量精简语言，最好不要让学生产生听课疲劳感，要做到语言干脆利落，语速适中，语调有高低起伏
语文课堂教学由字词到主要内容过渡语有哪些
一堂课作为一个有机的整体,是可以进行分割切换的. 也就是说,一堂课是由教师对几方面知识内容的传授组成的.之所以形成一个有机的整体,是因为在这几个方面内容的组合衔接上常常有其独到的妙处——简洁明确、自然得体、紧密连贯——如行云流水,天衣无缝,让人不知不觉.因此,在课堂上起到一种衔接组合作用的如果说得好,对于提高质量,增加效益,必将起到有益的作用.为此,我们必须了解课堂经常运用的几种方式：\\\\x0d二、归纳式.将众多的内容及问题进行必要精简、归纳、总结、梳理,以导出重点要讲的内容和问题,进而使的目的、任务更为明确.这样的常常会起到一种纲举目张的作用,它承上启下,带出课堂教学的下一个环节,水到渠成,自然而然.和两课既有相同点也有不同点.讲一课时,先让学生自由发言,提出问题.在学生提出的众多问题中,教师归结说:“一课的叙述顺序与有哪些不同?《琥珀》一课科学家想象的依据有哪些?下面我们就来解决这两个问题.”\\\\x0d三、提问式.通过富有艺术情趣的问题,将学生从一个浪尖带到另一个波峰上去,以实现课堂教学内容的转换和课堂整体结构安排的天衣无缝.老师在讲授时就是这样导引过渡的：\\\\x0d作者启程登泰山了,教师问：“你们看到雨中的泰山是怎样一幅景色?过后首次映入眼帘的又是怎样的一幅奇景?”学生通过阅读把奇景尽情欣赏一番后,教师又往前推进“尽管黄锦、白纱的奇景美不胜收,但‘雨大起来了,不得不拐进王母庙后的七真祠,’为什么叫七真祠呢?词中最传神之作是什么呢?怎样传神?”……最后“,一览众山小.”绝顶又是怎样的风光呢?让我们带着胜利的喜悦,来欣赏这仙境般的美景.当老师用这一系列富有情趣的设问语言把学生安然地从一个波峰送到另一个波峰上,一节课就不知不觉地过去了.\\\\x0d四、粘连式.利用语言材料之间的内外联系,通过联想、类比,进行粘连,以起到紧密衔接作用.比如和《琥珀》两课就是以叙述顺序引出对两文的比较来讲授内容的.\\\\x0d课堂过渡语的方式的运用时常不是单一的,一般都是几种方式的并用,由此才显示出教师课堂语言的灵活变化.；同时课堂过渡语有其自身的特点,就是它的导引性和衔接性.因此,在使用上一定要注意得体自如,瞻前顾后,由此及彼,在“导”和“接”上显真功.
变化重复和变奏的区别
变化重复与变奏既有共同点又有区别。
共同点：都是在某个原始素材的基础上发展变化，二者具有同样丰富的变化手法。
不同点：变化重复是偶然性的、片段性的（有时只有一个乐句甚至更小的元素），不具备完整独立的曲式意义，它只能作为某种曲式的一部分而存在；变奏常常是将原始素材较完整地多次变化，反复呈现，并构成A+A1+A2+A3+A4......这样一种独立的、具有特色的曲式结构。
(问题补充：如果我写的曲子是三个乐段的，而第三个乐段是由两个乐句构成，第二个乐句对第一个乐句整句的变化，那是变奏还是装饰变化呢
)这种情况不属于变奏(变奏通常将整个乐段作变化),只能算作变化重复。
不过,是不是装饰性变化，要看你怎样写的。
所谓装饰变化，是在原始素材基础上添加了若干起装饰作用的音，这些音大都是经过性的、辅助性的或八度交替的音，其旋律的骨干音和走向不变。
高一必修一数学学习笔记， 和 总结。
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。
AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作： CSA 即 CSA ={x xS且 xA} （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
) 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 5．什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：A B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6． 常用的函数表示法及各自的优点： ○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意啊：解析法：便于算出函数值。
列表法：便于查出函数值。
图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 （参见课本P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念） 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x1，x2∈D，且x1 8．函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)\\\/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *． 当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）． 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。 注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．实数指数幂的运算性质 （1） • ； （2） ； （3） ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0
