莫比乌斯圈有什么特点，和一般的圆有啥不同
上流传着这样一个故事：有人出，先用一张长方纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。
你想想，应该怎样粘这个纸圈
如果是纸条的首粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。
后来，德国数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。
新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。
叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈
麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180。
，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。
结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。
麦比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。
”
莫比乌斯圈的用途有哪些
麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。
运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。
一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。
二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。
三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。
乘客在轨道的两面上飞驰。
四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。
微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。
莫比乌斯圈在生活中的应用
麦比乌斯圈(Möbius strip, Möbius band)是一种单侧、不可定向的曲面。
因A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。
将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈。
麦比乌斯圈的发现： 数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。
这个纸圈应该怎样粘
如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。
后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。
新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。
叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。
结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。
麦比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。
” 麦比乌斯圈就这样被发现了。
奇妙的麦比乌斯圈： 做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。
你弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊. 如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。
如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈
还是三个圈儿
都不是。
它究竟是什么呢
你自己动手做这个实验就知道了。
你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。
有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。
我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了
得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色 ，即区分不出何是正面，何是反面。
对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。
单侧性又称不可定向性。
以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。
麦比乌斯圈是不可定向的。
麦比乌斯圈还有着更为奇异的特性。
一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在麦比乌斯圈上获得了解决。
比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。
我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。
无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。
不过，倘若你把它搬到麦比乌斯圈上来，那么解决起来就易如反掌了。
“手套易位问题”告诉我们：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体可以通过扭曲实现转换。
让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出麦比乌斯圈式的弯曲。
那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球呢
瞧，麦比乌斯圈是多么的神奇
但是，麦比乌斯圈具有一条非常明显的边界。
这似乎是一种美中不足。
公元1882年，另一位德国数学家费力克斯•克莱茵（Felix Klein，1849～1925），终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”。
这种怪瓶实际上可以看作是由一对麦比乌斯圈，沿边界粘合而成。
麦比乌斯圈的应用： 数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。
麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。
运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。
怎样把神奇的莫比乌斯圈一课上精彩
教学目标知识目标：让学生认识“莫比乌斯圈”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯圈。
情感目标：初步领会“观察、猜测、想象、验证”的学习方法，引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯圈”的特征，培养学生大胆猜测、勇于实践的求索精神。
能力目标：在莫比乌斯圈魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。
学生课前准备： 剪刀、胶带、彩笔、三张长方形纸条教学过程: 一、游戏导入，激发兴趣。
大家看，涂老师手上有什么呀
这可不是一张普普通通的纸条哦，它是一张神奇的纸条，不相信，请看，我这里有一枚黄色的回形针，我把它别在纸条上，这是一枚红色的回形针，我把它也别在纸条上，大家仔细观察，黄色的回形针与红色的回形针有没有连在一起啊，涂老师等下就利用这张纸条让它们手牵手，连在一起成为好朋友，你们信吗
那我们来试试看，如果成功了，你们要送给涂老师掌声哦。
请一个同学上台帮忙，请注意，见证奇迹的时刻到了。
一张普普通通的小纸条，你可别看它简单，其中藏着不少数学奥秘呢
这节课涂老师就圈着大家一起玩游戏，一起见证这张纸条到底有多神奇，好吗
（板书：神奇的）二、认识、制作莫比乌斯圈。
1、观察：这张纸条有几条边
几个面
（指名说：4条边2个面。
）（板书：4条边2个面。
）2、将2个面4条边变成2个面2条边你们能把它的边变少点吗
变成两条边两个面吗
（板书：2条边2个面）拿出1号纸条赶紧动手试一试
变好了的同学请举手。
请你上来。
你把它变成了什么呀
噢，是一个圈啊，（接过问全班）它是两条边两个面吗
3、做“莫比乌斯圈”接下来的要求就有点难度喽，同学们敢挑战吗
把这张纸条变成一条边一个面。
（板书：一条边一个面）给学生3分钟时间研究，如果有同学研究出来，请学生上台演示，如果没人做出来，老师示范。
请拿出纸条，展开----弯曲----翻转-----对接，（回头）在来一次…你们觉得哪个步骤最关键
对，翻转可是把两个面变成一个面的关键。
学生动手做纸圈。
做好的同学把你的纸圈举高给涂老师看一下。
都做出来了吗
我们今天就来研究这个圈。
（板书：圈）4、验证“莫比乌斯圈”这个纸圈真的只有一条边一个面吗
好吧，我们来验证一下好不好，怎么验证呢
学生画线验证。
师拿出两个面的圈：我这是几个面的圈，我也给它画线。
老师画完整整一圈，和同学们一起检查，发现了什么
涂老师刚刚画了整整一圈，我只画了红色的面，白色的面我画上了线吗
那老师这个圈有几个面，（两个面）同学们你们检查一下你们刚刚画的线，画过了红色的面没，画过了白色的面没
你们从起点出发，绕一圈既经过了红色的面，又经过了白色的面，那是几个面?(一个面)真的是一个面哦。
神奇吧
那这个纸圈是一条边吗
大家动手验证一下。
把你的纸圈举高，用手指头从起点出发，沿边沿绕一绕，边绕边观察，有没有经过所有的边。
神奇吧
三、介绍莫比乌斯圈的由来：1、（课件）莫比乌斯圈的命名这个圈叫莫比乌丝圈。
（课件）19世纪的几何学家莫比乌斯发现的.很久以前有一个叫莫比乌斯的人,在一个阳光美好的午后,静静的坐在桌前,手中拿着一个长长的纸条,不经意的把纸条拧了一个圈又把两个头对接了起来.也巧,这时正好有一只小蚂蚁到他的桌面上旅游,他微笑着对小蚂蚁说:小朋友,到我这个新建筑上来看看吧.于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了手中的纸上,小蚂蚁也许是感到新鲜而又陌生,也就不停的到处游荡,莫比乌斯轻轻的注视着纸上的小蚂蚁,你们猜,他发现了什么 (小蚂蚁虽没翻越任任何一处的纸边沿,却爬过了纸表面的每一个地方.)这让莫比乌斯非常惊讶,这个本来是两个面的纸条经他刚才的一接怎么变成只有一个面了呢一个伟大的数学发现就这样在不经意间产生了,并且以发现者莫比乌斯的名字命名.所以同学们平时在学好书本知识的同时,要留心观察生活,更多伟大的发明,发现还等着用你们的名字命名呢!（板书课题：莫比乌斯）2、莫比乌斯圈的形成原理：请同学们认真观察，思考：同样一张纸，为什么莫比乌斯圈它就只有一条边一个面呢
其实呀，道理非常简单，大家看一下，涂老师手上的这个圈外侧面是什么颜色的
内侧面是什么颜色的
本来红色的面和白色的面井水不犯河水，注意看我现在把红色的外侧面翻转过来和白色的内侧面粘在起，原本是一外一内的两个面现在就合二为一，成为一个面，所以莫比乌斯圈就只有一个面了，那边也是如此。
上边是蓝色的，下边是黑色的，它们老死不相往来，可是我现在把它翻转过来，把蓝色的边和黑色的边接在一起，这样原本一上一下的两条边现在就怎么样（合二为一）成为一条边了。
哦，别小看这翻转，这神奇的翻转就让莫比乌丝圈它就只有一条边一个面了。
神奇不神奇啊
3、莫比乌斯圈在生活中的应用：那你们说莫比乌斯圈它只有一条边一个面它有什么好处吗
（课件）工业上常用的传输圈传送圈如果做成两个面的圈，它就会要么只磨损红色的面，要么只磨损白色的面。
它就老是磨损一个面，这个面很容易就磨损坏了，但如果我把它做成莫比乌斯圈，你看看它磨过红色的面紧接着就磨白色的面，这样红色的面和白色的面它们交替使用，轮流磨损，这样是不是就延长了使用寿命啊
你们说这样一个神奇的圈是不是很有意思啊
（课件）打印机的色圈也是莫比乌斯圈，这样就不会只磨损一面，从而延长了使用寿命。
你们说这样一个神奇的圈是不是挺有意思啊
四、见证莫比乌斯圈的神奇 “1\\\/2”剪告诉你哦，莫比乌斯圈的神奇才刚刚开始，想不想见识一下
那你们拿出2号纸条，做一个莫比乌斯圈子。
1、观察：大家看看，这个莫比乌斯圈中间的是不是有条虚线，也就是二分之一的地方，（板书二分之一）。
2、猜想：如果涂老师沿着这条二分之一的虚线一直一直剪下去，剪一圈，你们猜一猜，它到最后会变成什么样子
3、验证：它究竟会变成什么样呢
我们要验证一下。
老师示范剪开。
只差一刀了，见证奇迹的时刻马上就要到了，请同学们和老师一起倒计时，3、2、1、这时老师的剪刀并没有剪下去，这么美妙的时刻，应该让同学们自己亲自动手验证。
留下悬念给学生自己动手。
变成什么样了
一个大圈子。
这不可能吧，老师完成最后一刀。
变成了一个大圈。
怎么会变成一个大圈呢
4、形成原理。
它与莫比乌斯圏的特点是有关系的，它只有一个面，是剪不断的我们不仅剪过了红色的面还剪过了白色的面，相当于剪了两个圈的长度。
所以剪出了两倍长的大圈。
5、再猜想。
那这个大圈还是一个莫比乌斯圈吗
6、再验证。
学生验证。
还有更神奇的，想不想玩啊
“1\\\/3”剪1、观察：拿出3号纸条并观察，2、猜想：做一个莫比乌斯圈。
红白跑道将纸条平均分成了三等分，如果沿三分之一的虚线剪开，会变成什么样呢
大家猜猜看。
3、验证：谁的猜测最给力，还是用剪刀验证一下。
老师示范，剪一半的时候，大家的手痒不痒，那还不动手自己去见证奇迹。
变成什么样了
一大一小，不可能吧
涂老师还剩下一刀，看看。
真的是一个大圈一个小圈。
这莫比乌斯圈太跟我们作对了吧，我们沿二分之一的虚线剪开就变成了一个二倍长的大圈，沿三分之一的虚线剪开怎么就变成一个大圈套一个小圈呢
怎么回事啊
其实啊，它还是跟莫比乌斯圈的特点有关，什么特点
（一个面）。
一个面能不能剪开
（不能）。
它能一分为二、一分为三吗
（不能）所以啊，这白色的部分是原来的两边白色部分剪了下来就成为了两倍长的圈，中间的红色部分你剪到了吗
（没有）。
它还是原来的那个莫比乌斯圈。
这样大圈就套上这个小圈了，神奇吧
一个看似简单的小纸圈居然这么神奇，其实啊，它不光好玩有趣，在生活当中你也经常见到它的身影。
五、欣赏生活中的莫比乌斯圈（课件）可回收物标志、过山车、三叶扭结、世博会湖南馆大家看，多么神奇的莫比乌斯圈，所以啊后来很多人为此着了迷，数学家们通过对莫比乌丝圈的研究，渐渐形成了一门新的学说，叫做《拓扑几何学》，感兴趣的同学课后可以去查阅一下。
六．总结全课，你们看我们今天沿着二分之一和三分之一的地方剪开莫比乌斯圈，是不是给我们圈来许多神奇的地方，其实啊我们还可以沿着莫比乌斯圈四分之一、五分之一的地方剪开，那又会圈给我们什么惊喜呢
下课后同桌之间或者回家后和爸爸、妈妈一起，先猜猜，再动手验证一下你们的猜测，好不好啊
希望今天这节课能给同学们圈来这样的启发，平时多（课件出示，学生读出来）留心观察，能够像今天这样大胆猜测，还能像今天一样小心验证，凡事多问为什么，也许下一个伟大的发现就会用我们四（3、4）班的某一个同学的名字命名哦。
大家有没有信心
教学反思：我设计这节活动课的初衷是想开阔学生的视野，拓宽学生的知识面，让学生感受数学变幻莫测的无穷魅力。
关于莫比乌斯圈的知识，如果按课本的介绍，单纯从操作上去实施，学生肯定会在愉悦、新奇、兴奋的情境中顺利接受的，就会成为专门学做各种各样奇异的纸圈，如果不渗透为什么这样神奇的道理来源，未免有上成手工操作课的嫌疑，而这种转换的道理对小学四年级的孩子来说显得有些困难，于是我决定以“观察、猜测、验证”的思路来进行设计，让学生在猜测中进行分析，在分析中进行操作，在操作中进行验证。
本来在设计上，我从魔术引入，把学生的注意力带到一种神奇的数学世界，突出数学的神奇。
我用一张长方形纸条作教具，将两枚回形针连在了一起，然后让学生将一张普通的纸条变成2个面2条边，再变成一个面一条边。
怎样做，又怎样验证呢
让学生思考后再带领学生一起动手检验。
再让学生猜测，如果沿1\\\/2线、1\\\/3线剪，剪完后会是什么样
猜测后再动手操作，进行验证。
在上这节课的过程中，我首先是示范沿着1\\\/2线剪，到底剪开后会怎么样呢?学生十会好奇，当我剪到只剩最后一剪刀就能见证奇迹时，我停下了手中的剪刀，让学生自己动手操作，亲自验证。
我吊足了学生的胃口，因此学生怀着高昂的兴趣动手进行操作验证，剪完后兴奋地举起了自己的作品。
整节课学生都是兴趣盎然，在老师的引导下见证着一个又一个的奇迹。
上完《神奇的莫比乌斯圈》这节课后，我产生了一种强烈的感觉，就是老师必须把新课标的理念从内在的心理接受外化为教学行动，让学生感受到数学是神奇的，上数学课是快乐的，学习数学是有用的。
关于莫比乌斯圈的资料?
莫比乌斯圈又称麦比乌斯圈(Möbius strip, Möbius band)一种单侧、不可定向的曲面。
因A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。
将一个长方形纸ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。
详见百度百科……
莫比乌斯带的原理
首先，你试一试就知道了，肯定是可以的。
说明三维空间中可以二图形，使之在二维情形下沿一个方向走可走遍该图形（想象一个平面生物，有这个带子这么宽，它是只能分辨出二维的，那他只能感知平面的东西，分不出高度和空间）。
其他维度下也有，例如一个圆，在一维情形下也可看作是一个类似于莫比乌斯带的东西（在一维条件下，沿一个方向走，绕圆周一圈）。
类似的，一个只存在于想象中的四维的克莱因瓶也在三维空间中是这样的。
可以参阅一些拓扑之类的书，不过很多小科普都有介绍。
