菲利克斯·克莱因的主要成就
克瓶最初的概由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。
克莱因瓶和乌斯带非常相像。
克莱因瓶在三维空间中 只能做出“浸入”模型（允许与自身相交），它的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连 接。
和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。
它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。
“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fläche”是“克莱因平面”的意思。
大概是误写成了“Flasche”，这个词才是瓶子的意思。
不过不要紧，“瓶子”这个词用起来也非常合适。
1882年，著名数菲利克斯·克莱因(Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。
这是一个象球面那样封闭的曲面，但是它却只有一个面。
在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。
但是它没 有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面 (即环面)。
在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
如果观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。
但是事实却非如此。
事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自 己和自己相交一样。
事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。
用扭结来打比方。
如果把它看作平面上的曲线的话，那么它 似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。
但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。
在平面上一条 曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。
只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者 断裂了的样子。
克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。
克莱因瓶是什么
三维空间中的克莱因瓶数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部”之分。
克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。
克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。
克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。
和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。
它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。
