一、教材分析
1.在教材中的地位与作用
本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.
2.教学目标分析
根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：
（1）知识与技能目标
能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；
掌握平面的法向量的求法.
（2）过程与方法目标
结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题.
（3）情感态度与价值观目标
体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新
3.教学重难点分析
根据以上教学目标，教学重难点确定如下：
教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量.
教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题.
二、学情分析
学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识.但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.
三、教法学法分析
1．教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型.
2.学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳.
四、教学过程展示
本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂
(一)复习引入
给出三个问题，让学生思考：什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？
设计意图:1.个问题是引导学生复习已有的知识，为本节课的学习起到铺垫作用；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题.
(二)自主探究
观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：
设计意图：1.本节课本给出的三个例题都是证明题，起点相对较高，考虑到学生的认知结构及心理特征，先给出两个例题（非证明题）作为铺垫.2.引导学生用向量方法思考问题，让学生体会利用向量判断垂直与平行的方法，突破重点.
3.由例1体会到判断线面位置关系时，平面法向量的重要性.如何求平面的`法向量？引出例2.
设计意图：1.掌握平面法向量的求法.至此突破重点.2.本题用到的理论依据是线面垂直的判定定理，这个定理用向量方法如何证明？引出例3.
例3.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.
设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点.
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）
设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系.
学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.
(以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系)
设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解.
（四）课堂
(1)用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；
(2)求法向量的步骤；
(3)用向量方法解决立体几何问题的步骤.
设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好的根据学生的情况进行针对性的辅导.
（五）布置作业(反馈提升)
1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流
(第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明)
设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要.通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用.在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力.
五、教学反思
（1）以属性结合的
（2）根据学生已有的知识水平合理设计本节课的例题，体现了以学定教，以学生为主体，合作探究的新课程理念；
（3）题目梯度设置合理，有效学生突破重难点；
（4）在知识的巩固练习部分还有待加强，更好的提升学生思维水平和能力。
1 决策树算法
机器学习中，决策树是一个预测模型；它代表的是对象属性值与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应具有上述属性值的子对象。决策树仅有单一输出；若需要多个输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。
从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。
决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，它由它的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。 决策树同时也可以依靠计算条件概率来构造。决策树如果依靠数学的计算方法可以取得更加理想的效果。
1.1 决策树的工作原理
决策树一般都是自上而下的来生成的。
选择分割的方法有多种，但是目的都是一致的，即对目标类尝试进行最佳的分割。
从根节点到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。
决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。
对每个节点的衡量：
1) 通过该节点的记录数；
2) 如果是叶子节点的话，分类的路径；
3) 对叶子节点正确分类的比例。
有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。
1.2 ID3算法
1.2.1 概念提取算法CLS
1) 初始化参数C={E}，E包括所有的例子，为根；
2) 如果C中的任一元素e同属于同一个决策类则创建一个叶子节点YES终止；否则依启发式标准，选择特征Fi={V1, V2, V3,……, Vn}并创建判定节点，划分C为互不相交的N个集合C1，C2，C3，……，Cn；
3) 对任一个Ci递归。
1.2.2 ID3算法
1) 随机选择C的一个子集W (窗口)；
2) 调用CLS生成W的分类树DT(强调的启发式标准在后)；
3) 顺序扫描C搜集DT的意外(即由DT无法确定的例子)；
4) 组合W与已发现的意外，形成新的W；
5) 重复2)到4)，直到无例外为止。
启发式标准：
只跟本身与其子树有关，采取信息理论用熵来量度。
熵是选择事件时选择自由度的量度，其计算方法为：P=freq(Cj,S)/|S|；INFO(S)=-SUM(P*LOG(P))；SUM()函数是求j从1到n的和。Gain(X)=Info(X)-Infox(X)；Infox(X)=SUM( (|Ti|/|T|)*Info(X)；
为保证生成的决策树最小，ID3算法在生成子树时，选取使生成的子树的熵(即Gain(S))最小的特征来生成子树。
ID3算法对数据的要求：
1) 所有属性必须为离散量；
2) 所有的训练例的所有属性必须有一个明确的值；
3) 相同的因素必须得到相同的结论且训练例必须唯一。
1.3 C4.5算法
由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。
C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进：
1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足；
2) 在树构造过程中进行剪枝；
3) 能够完成对连续属性的离散化处理；
4) 能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法有如下优点：
产生的分类规则易于理解，准确率较高。
C4.5算法有如下缺点：
在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。
分类决策树算法：
C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法，其核心算法是ID3算法。
分类决策树算法是从大量事例中进行提取分类规则的自上而下的决策树。
决策树的各部分是：
根：学习的事例集；
枝：分类的判定条件；
叶：分好的各个类。
1.3.1 C4.5对ID3算法的改进
1) 熵的改进，加上了子树的信息。
Split_Infox(X)= -SUM( (|T|/|Ti|)*LOG(|Ti|/|T|))；
Gain ratio(X)= Gain(X)/Split_Infox(X);
2) 在输入数据上的改进
① 因素属性的值可以是连续量，C4.5对其排序并分成不同的集合后按照ID3算法当作离散量进行处理，但结论属性的值必须是离散值。
② 训练例的因素属性值可以是不确定的.，以?表示，但结论必须是确定的。
3) 对已生成的决策树进行裁剪，减小生成树的规模。
2 The k-means algorithm（k平均算法）
k-means algorithm是一个聚类算法，把n个对象根据它们的属性分为k个分割，k < n。它与处理混合正态分布的最大期望算法很相似，因为他们都试图找到数据中自然聚类的中心。它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。
假设有k个群组Si, i=1,2,...,k。μi是群组Si内所有元素xj的重心，或叫中心点。
k平均聚类发明于1956年，该算法最常见的形式是采用被称为劳埃德算法(Lloyd algorithm)的迭代式改进探索法。劳埃德算法首先把输入点分成k个初始化分组，可以是随机的或者使用一些启发式数据。然后计算每组的中心点，根据中心点的位臵把对象分到离它最近的中心，重新确定分组。继续重复不断地计算中心并重新分组，直到收敛，即对象不再改变分组（中心点位臵不再改变）。
劳埃德算法和k平均通常是紧密联系的，但是在实际应用中，劳埃德算法是解决k平均问题的启发式法则，对于某些起始点和重心的组合，劳埃德算法可能实际上收敛于错误的结果。（上面函数中存在的不同的最优解）
虽然存在变异，但是劳埃德算法仍旧保持流行，因为它在实际中收敛非常快。实际上，观察发现迭代次数远远少于点的数量。然而最近，David Arthur和Sergei Vassilvitskii提出存在特定的点集使得k平均算法花费超多项式时间达到收敛。
近似的k平均算法已经被设计用于原始数据子集的计算。
从算法的表现上来说，它并不保证一定得到全局最优解，最终解的质量很大程度上取决于初始化的分组。由于该算法的速度很快，因此常用的一种方法是多次运行k平均算法，选择最优解。
k平均算法的一个缺点是，分组的数目k是一个输入参数，不合适的k可能返回较差的结果。另外，算法还假设均方误差是计算群组分散度的最佳参数。
3 SVM（支持向量机）
支持向量机，英文为Support Vector Machine，简称SV机（论文中一般简称SVM）。它是一种监督式学习的方法，它广泛的应用于统计分类以及回归分析中。
支持向量机属于一般化线性分类器。它们也可以被认为是提克洛夫规范化（Tikhonov Regularization）方法的一个特例。这种分类器的特点是他们能够同时最小化经验误差与最大化几何边缘区。因此支持向量机也被称为最大边缘区分类器。
在统计计算中，最大期望（EM）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找参数最大似然估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量（Latent Variable）。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据集聚（Data Clustering）领域。最大期望算法经过两个步骤交替进行计算，第一步是计算期望（E），也就是将隐藏变量像能够观测到的一样包含在内从而计算最大似然的期望值；另外一步是最大化（M），也就是最大化在 E 步上找到的最大似然的期望值从而计算参数的最大似然估计。M 步上找到的参数然后用于另外一个 E 步计算，这个过程不断交替进行。
Vapnik等人在多年研究统计学习理论基础上对线性分类器提出了另一种设计最佳准则。其原理也从线性可分说起，然后扩展到线性不可分的情况。甚至扩展到使用非线性函数中去，这种分类器被称为支持向量机(Support Vector Machine，简称SVM)。支持向量机的提出有很深的理论背景。支持向量机方法是在近年来提出的一种新方法，但是进展很快，已经被广泛应用在各个领域之中。
SVM的主要思想可以概括为两点：(1) 它是针对线性可分情况进行分析，对于线性不可分的情况，通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分，从而使得高维特征空间采用线性算法对样本的非线性特征进行线性分析成为可能；(2) 它基于结构风险最小化理论之上在特征空间中建构最优分割超平面，使得学习器得到全局最优化，并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。
在学习这种方法时，首先要弄清楚这种方法考虑问题的特点，这就要从线性可分的最简单情况讨论起，在没有弄懂其原理之前，不要急于学习线性不可分等较复杂的情况，支持向量机在设计时，需要用到条件极值问题的求解，因此需用拉格朗日乘子理论，但对多数人来说，以前学到的或常用的是约束条件为等式表示的方式，但在此要用到以不等式作为必须满足的条件，此时只要了解拉格朗日理论的有关结论就行。
支持向量机将向量映射到一个更高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大间隔超平面。在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面。分隔超平面使两个平行超平面的距离最大化。假定平行超平面间的距离或差距越大，分类器的总误差越小。一个极好的指南是C.J.C Burges的《模式识别支持向量机指南》。van der Walt 和 Barnard 将支持向量机和其他分类器进行了比较。
有很多个分类器(超平面）可以把数据分开，但是只有一个能够达到最大分割。
我们通常希望分类的过程是一个机器学习的过程。这些数据点并不需要是中的点，而可以是任意(统计学符号)中或者 (计算机科学符号) 的点。我们希望能够把这些点通过一个n-1维的超平面分开，通常这个被称为线性分类器。有很多分类器都符合这个要求，但是我们还希望找到分类最佳的平面，即使得属于两个不同类的数据点间隔最大的那个面，该面亦称为最大间隔超平面。如果我们能够找到这个面，那么这个分类器就称为最大间隔分类器。
设样本属于两个类，用该样本训练SVM得到的最大间隔超平面。在超平面上的样本点也称为支持向量。
《垂直与平行》是人教版四上第四单元第一课时的教学内容。它是在学生认识了直线、线段、射线的性质、学习了角及角的度量等知识的基础上学习的。在“空间与图形”的领域中，垂直与平行是学生以后认识平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何形体的基础，也为培养学生空间观念提供了一个很好的载体。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下教学目标：
1、知识与技能目标：通过数学活动使学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，了解互相垂直和互相平行的概念；认识垂线、垂足；认识平行线。
2、思维与发展目标：使学生经历从现实空间中抽象出平行线的过程，培养空间观念。
3、情感与态度目标：在数学活动中让学生感受到数学知识在生活中的真实存在，增强学生对数学的兴趣，养成独立思考的习惯，培养应用数学的意识。
根据教学目标，本课的教学重点确定为：感知平面上两条直线的垂直、平行关系,认识两线垂直、平行。
教学难点是：正确理解“在同一平面内”“永不相交”等概念的本质属性。
下面我来具体谈一谈对这一堂课的教学预设过程：
为了实现教学目标，完成新课标赋予的教学任务，我把本课的教学过程分为五个环节：
我先来说说第一个教学环节：
一、画图感知，研究两条直线的位置关系
电脑显示一条直线，问：这是什么？它有什么特点？然后课件演示直线相对无限延长的特点。
好，今天咱们继续研究直线的有关知识。
让学生拿出一张白纸，用手摸一摸这个平面，闭上眼睛想象一下，如果把这个平面变大，再变大，变的无限大，在这个无限大的平面上，画两条直线，这两条直线可能会出现怎样的情况？学生先想象，然后睁开眼睛把想象的两条直线画在纸上。
（这一环节，由旧引新，为下面的教学作好铺垫，同时能很好地培养学生的空间想象能力。）
下面我来说说教学过程的第二个环节：
二、观察分类，了解平行与垂直的特征
先展示学生作品。学生可能会出现以下几种。（板书）
让学生进行分类，并说明分类的标准。
接着展示不同的分类结果，老师根据学生的意见适时调整图形的位置，并说明两条直线交叉了，在数学上称为“相交”。
然后引导学生按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。重点引导“快要相交”那一类的情况，通过交流让学生达成共识：同一平面内的两条直线的位置可以分成“相交”和“不相交”两类。（板书：相交、不相交）
那么两条直线相交，会形成交点（板书）象这样的交点有几个？（板书：1个）
（这里通过学生观察比较、讨论交流、教师点拨中，逐步达成分类共识，使学生在探究过程中，感受到“相交”“不相交”这些垂直和平行概念的基本特征，为深化理解概念的本质属性创造了条件。）
下面我来说说教学过程的第三个环节：
三、归纳认识，明确平行与垂直的含义
先认识互相垂直：根据两条直线相交所形成的角，谁比较特殊？根据学生的回答选出相交成直角的图形，问：你怎么知道它是一个直角？引导学生用直角来验证，做上直角的标记。（板书：直角标记）然后指着图说，象这样两条直线它们的位置关系在数学上又叫互相垂直。（板书：互相垂直）谁能看着图说说什么样的两条直线互相垂直？（这里出示课件）
你能动手写一写吗？写完让学生说一说。
（这里可以让学生加深理解。）
然后让学生看看书上是怎么说的？课件出示定义，让学生齐读一下。接着再介绍垂足。用红点表示出来。
紧接着课件出示：（画直线a和直线b，再擦掉直线b）请学生仔细看。现在能说a是垂线吗？（学生会说：不能）（再变回两条直线）现在我们就可以说a和b互相垂直，a是b的垂线，b是a的垂线。谁也能象老师这样说一说两条直线之间的关系？
（通过这样的对比练习，深化学生对互相垂直这一概念的理解。）
接着认识互相平行。
课件出示三组不同方向的平行线，数学书上把这样两条直线的位置关系叫做互相平行（板书：互相平行），看图你能用自己的话说说什么是互相平行吗？看看书上是怎么说的？课件出示定义，学生齐读。
问：对这句话你有什么疑问？学生可能会问出同一平面是什么意思？老师就拿出课前准备好的盒子，盒子的两个异面上画直线，让学生观察，理解只有在同一个平面上不相交的两条直线才是平行线。
（这样化难为简，突破难点。）
紧接着揭示课题：刚才我们研究了同一平面内两条直线的位置关系—垂直与平行（板书）。
然后出示判断题：这里重点让学生说说判断理由。
（这样能及时巩固新知，便于教师了解学情，及时地引导纠正。）
教学过程的'第四个环节是：
四、练习巩固，强化对垂直于平行的理解
第一题：下面的各组直线，哪组互相平行？哪组互相垂直？检验一下。
（这里以动手操作的形式加强学生对平行、垂直的理解，渗透几何知识中平行线判定方法。）
第二题：课件出示主题图，让学生在运动场上找一找垂直与平行的现象。
第三题：在我们认识的图形中也隐藏着平行和垂直。
出示这个长方形和三角形，请找出平行与垂直。
（通过这样的练习，让学生加强对本课概念的认识，同时能运用今天所学习的知识表述以前的问题，能够用所学的知识描述具体的图形中线的位置关系。）
最后电脑演示欣赏生活中的平行和垂直。
（让学生体会数学与生活的联系，增强应用数学的意识。）
教学的最后一个环节是：总结全课 完善认知
同学们，只要你有一双慧眼，就会发现其实数学就在我们身边。谁来说说这节课有什么收获？
板书：
（这是我的板书设计，这样的设计简单明了，能突出重难点，帮助学生梳理知识。）
总之，我力求体现新课标的的理念，注重发挥学生的主体精神和自主学习的能动性，力求让全体学生主动参与到探索性的学习活动中来，让学生成为学习的真正主人。
