学完等腰三角形的收获，总结
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北师大版初中数学定理知识点汇总[七年级下册(北师大版)]第一章 整式的运算一. 整式※1. 单项式①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.※2.多项式①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.※3.整式单项式和多项式统称为整式.二. 整式的加减¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.三. 同底数幂的乘法※同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）四．幂的乘方与积的乘方※1. 幂的乘方法则： (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.※2. .※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a3※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五. 同底数幂的除法※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).※2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 , ④运算要注意运算顺序. 六. 整式的乘法※1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※2．单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。
※3．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到 七．平方差公式¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，※即 。
¤其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
八．完全平方公式¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，¤即 ；¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；¤2．结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。
九．整式的除法¤1．单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；¤2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
第二章 平行线与相交线一．台球桌面上的角※1．互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。
它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
二．探索直线平行的条件※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
三．平行线的特征※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
四．用尺规作线段和角※1．关于尺规作图尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
※2．关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。
第三章生活中的数据※1．科学记数法：对任意一个正数可能写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记数的方法称为科学记数法。
¤2．利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
¤3．统计工作包括：①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达与描述数据；⑤分析结果。
第四章 概率¤1．随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半，都为50%。
※2．现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。
※3．了解必然事件和不可能事件发生的概率。
必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0 这里要注意两点：①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。 三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2．关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。 三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。 对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。 设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。 3．关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180°①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。 4．关于三角形的中线、高和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。 但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。 ④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。 二．图形的全等¤能够完全重合的图形称为全等形。 全等图形的形状和大小都相同。 只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。 四．全等三角形¤1．关于全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。 因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。 ※2．全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ¤3．全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。 五．探三角形全等的条件※1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”※2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”※3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”※4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”六．作三角形1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。 2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。 3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。 八．探索直三角形全等的条件※1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简称为“斜边、直角边”或“HL”。 这只对直角三角形成立。 ※2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。 直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。 ③三条边对应相等的两个直角三角形全等。 第七章 生活中的轴对称※1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 ※2．角平分线上的点到角两边距离相等。 ※3．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 ※4．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。 ※5．等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 ※6．轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 ※7．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 九．整式的除法¤1．单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；¤2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。 第二章 平行线与相交线一．台球桌面上的角※1．互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。 它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 二．探索直线平行的条件※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。 三．平行线的特征※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 四．用尺规作线段和角※1．关于尺规作图尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 ※2．关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 第三章生活中的数据※1．科学记数法：对任意一个正数可能写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记数的方法称为科学记数法。 ¤2．利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 ¤3．统计工作包括：①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达与描述数据；⑤分析结果。 第四章 概率¤1．随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半，都为50%。 ※2．现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。 ※3．了解必然事件和不可能事件发生的概率。 必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0 这里要注意两点：①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。 三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2．关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。 三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。 对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。 设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。 3．关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180°①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。 4．关于三角形的中线、高和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。 但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。 ④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。 二．图形的全等¤能够完全重合的图形称为全等形。 全等图形的形状和大小都相同。 只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。 四．全等三角形¤1．关于全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。 因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。 ※2．全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ¤3．全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。 五．探三角形全等的条件※1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”※2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”※3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”※4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”六．作三角形1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。 2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。 3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。 八．探索直三角形全等的条件※1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简称为“斜边、直角边”或“HL”。 这只对直角三角形成立。 ※2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。 直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。 ③三条边对应相等的两个直角三角形全等。 第七章 生活中的轴对称※1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 ※2．角平分线上的点到角两边距离相等。 ※3．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 ※4．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。 ※5．等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 ※6．轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 ※7．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 线段 线段 ◆有限长度,可以测量 ◆两个端点线段描述 线段(segment)，技术制图中的一般规定术语，是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。 线段有如下性质：两点之间线段最短。 连接两点间的长度叫做这两点间的距离（distance）。 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点. 线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA，线段a。 两点之间，线段最短。 直线没有距离。 射线也没有距离。 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。 ①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 ②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边 ③角的符号：∠ 角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。 锐角：小于90°的角叫做锐角 直角：等于90°的角叫做直角 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角 平角：等于180°的角叫做平角 优角：大于180°小于360°叫优角 周角：等于360°的角叫做周角你自己听讲解吧 最佳答案三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。 它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。 另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。 三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。 并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。 而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。 在以后我们可以给出具体证明。 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。 所以三角形按边的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。 可知：③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a定理：三角形任意两边的和大于第三边。 由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。 从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。 另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。 如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。 这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。 反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。 同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE。 方法2 如图，在△ABC的边BC上任取一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，分别交AC、AB于E、F，再运用平行线的性质可证得△ABC的内角和等于平角∠BDC。 三角形按角分类根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。 三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论：推论1 直角三角形的两个锐角互余。 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 同时我们还很容易得到如下几条结论：（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。 （2）一个三角形至少有两个内角是锐角。 （3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。 (4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。 全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质（1）全等三角形的对应边相等。 （2）全等三角形的对应角相等。 确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角 其方法主要可归结为：（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。 （2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。 （3）两个对应角所夹的边是对应边。 （4）两个对应边所夹的角是对应角。 由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。 判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。 这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。 公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。 不能理解成两边和其中一个角相等。 否则，这两个三角形就不一定全等。 例如 在△ABC和△A′B′C′中，如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于△A′B′C′。 又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。 原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件。 说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。 判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。 这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。 公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。 千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。 如右图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，但这两个三角形显然不全等。 原因就是没有注意公理中“对应”二字。 公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。 而ASA公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。 同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。 由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）。 边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。 这个公理告诉我们，只要一个三角形的三边长度确定了，则这个三角形的形状就完全确定了。 这就是三角形的稳定性。 判定两个三角形全等通过以上三个公理的学习，可以知道，在判定两个三角形全等时，无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。 三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。 无非有如下情况：（1）三边对应相等。 （2）两边和一角对应相等。 （3）一边和两角对应相等。 （4）三角对应相等。 HL公理我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。 但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）。 这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，其本身包含了一个直角相等。 这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。 由于直角三角形是一种特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。 角平分线的性质定理和逆定理性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。 用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理： ∵P在∠AOB的平分线上PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PE逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。 角平分线定义如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。 三角形角平分线性质 三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。 互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 原命题和逆命题的真假性 每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题，原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真。 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理尺规作图限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。 基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：（1）作一个角等于已知角；（2）平分已知角；（3）过一点作已知直线的垂线；（4）作已知线段的垂直平分线；（5）过直线外一点作已知直线的平行线。 有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形。 三边都相等的三角形称为等边三角形，又称为正三角形。 有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。 等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。 等腰三角形的有关概念等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，底边上的两个角称为底角。 等腰三角形的主要性质两底角相等。 如图，ΔABC中AB＝AC，取BC中点D，连结AD，容易证明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。 如图，ΔABC中为等边三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°如图，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，从而AD⊥BC，由此又可得到另外两个重要推论。 两个重要推论等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；等边三角形各内角相等，且都等于60°。 等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法三角形中，相等的边所对的角相等。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一。 等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边。 它们都是证明两条线段相等的重要方法。 推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 容易证明：这个推论的逆命题也是正确的。 即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 运用利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角也较大；反过来，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 ”对称轴及中心线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分。 线段的中点就是它的中心，今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”。 线段是以它的中垂线为对称轴的图形。 三线合一的定理的逆定理如图所示，线段中垂线的性质定理的几何语言为： ，于是可以用来判定等腰三角形，其定理实质上是三线合一定理的逆定理。 “距离”不同，“心”也不同“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”，而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”。 三角形三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等(这点称为三角形的内心)。 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等(这点称为三角形的外心)。 重要的轨迹图(A）所示。 到角的两边OA、OB的距离相等的点P1、P2，P3…组成一条射线OP，即点的集合。 如图(B)所示，到线段AB的两端点的距离相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直线P1P2，因此这条直线可以看成动点形成的“轨迹”。 第十三节轴线称和轴对称图形轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这条直线对称，也称轴对称。 根据定义，两个图形和如果关于直线l轴对称，则：（1）和这两个图形的大小及形状完全相同。 （2）把其中一个图形沿l翻折后，和应完全重合，自然两个图形中的有关对应点也应重合。 事实上，直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线。 所以容易得到如下性质：性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 性质2 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 性质3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。 不难看出，如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 轴对称图形如果一个图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。 轴对称和轴对称图形的区别和联系区别①轴对称是指两个图形关于某条直线对称，而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称。 ②轴对称的对应点分别在两个图形上，而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上。 ③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边，而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形。 联系①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合。 ②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体，那么这个整体反映出的图形便是一个轴对称图形；反过来，如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个图形，那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称。 第十四节 勾股定理 直角三角形直角三角形中，两锐角互余，夹直角的两边叫直角边，直角的对边叫斜边，斜边最长。 等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例。 也是等腰三角形中的特例。 等腰直角三角形的两个底角都等于45°，顶角等于90°，相等的两条直角边是腰。 勾股定理直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即，这就是勾股定理。 判定直角三角形如果ΔABC的三边长为a、b、c，且满足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90°。 第十五节勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，则△ABC为Rt△。 如何判定一个三角形是否是直角三角形首先求出最大边（如c）。 验证c2与a2＋b2是否具有相等关系。 若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。 若c2≠a2＋b2，则△ABC不是直角三角形。 ***************************攻关秘技****方法1： 证明“文字叙述的 几何命题”的方法 这类题目证明起来较一般几何题要难，但还是有一定的思路和方法，一般先对题目进行总体分析，分析内容大致分为以下四点，然后逐步解决。 （1）分析命题的题设和结论； （2）结合题设和结论画出图形； （3）综合题设结论和图形写出已知、求证； （4）进行证题分析。 方法2： 等腰三角形的边角求值法 在解等腰三角形的边角求值题时，应考虑到各种可能的情况，还要排除不能构成三角形的情形。 特别在解决线段或角的和差倍半关系时，常利用合成法或分解法，借助添加辅助线来完成。 方法3： 判定一个三角形是 直角三角形的方法 判定一个直角三角形可利用勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线性质或直角三角形的定义等，这些方法都要求掌握并能灵活运用。 方法4： 作图题 几何作图题的每一步都必须有根有据，所以就要求我们掌握好已学过的公理、定理等。 要掌握好尺规作图，还要多画多练。 知识点： 全等三角形的判定与性质 方 法： 分析法 能 力： 分析与解决问题的能力 难 度： 中等 知识点： 全等三角形；角平分线 方 法： 合成法；分解法 能 力： 分析与解决问题的能力； 逻辑推理能力 难 度： 中等偏难 知识点： 等腰直角三角形的性质； 线段的垂直平分线性质；勾股定理 方 法： 综合法 能 力： 分析与解决问题的能力 难 度： 中等偏难 知识点： 线段的性质 方 法： 数形结合法 能 力： 空间想象能力； 分析与解决问题的能力 难 度： 中等偏难 ****************************%%%%%%热点追踪%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%专题1： 一题多问、一题多图和多题一解 提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的，而认真的设计课本中例题、习题的变式，挖掘其潜能也是方法之一。 课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉，它们具有丰富的内涵，在由知识转化为能力上具有示范性和启发性，在解题思路和方法上具有典型性和代表性。 如果我们不以得到解答为满足，而是在解完之后，深入其中作进一步的挖掘和多方位探索，不仅可得到一系列的新命题，也可从“题海”中解脱出来，达到事半功倍的效果。 而且通过不同角度、不同方位去思考问题，探索不同的解答方案，从而拓宽了思路，培养了思维的灵活性和应变能力。 专题2： 利用扩、剖、串、改提高解题能力 学习几何时，感到例题好学易懂，但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策，原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题，学完就了事，致使解题时缺乏应变能力，但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编，就能较好地解决这一问题。 1．扩充：将原题条件拓展，使结论更加丰富充分。 2．剖解：分析原题，将较复杂的图形肢解为若干个基本图形，使问题化隐为显。 3．串联：由例题的形式（条件、结论等），联想与它相似、相近、相反的问题。 4．改编：改变原题的条件形式，探索结论是否成立 专题3： 分析、综合、辅助线 我们研究不等式的有关问题时，会发现很多巧妙的方法，还会不断学习掌握类比的数学思想，形数结合的思想，从未知向已知转化的化归思想，通过研究这些不断变化的问题，全面把握不等式及不等式组的解法，从而提高我们分析问题、解决问题的能力。 专题4： 不等式的若干应用 在平面几何里，证题思路主要有：（1）分析法，即从结论入手，逐步逆推，直至达到已知事实后为止。 （2）综合法，先从已知条件入手，运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论。 （3）两头凑，就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”，从已知看可以推出哪些结论；另一方面“由未知看需知”，从所求结论逆推看需要什么条件，一旦可知与需知沟通，证题思路即有了。 添加辅助线是证明几何题的重要手段，也是学习中的难点之一。 专题5： 几何证题的基本方法有两种： 一种是从条件出发，通过一系列已确立的命题逐步向前推演，直到达到证题目的，简言之，这是由因导果的方法，我们称之为直接证法或综合法，综合法证题的程序如下：欲证AB，由于AC，CD，…，x，而xB，故AB.另一种则反过来，先假定命题的结论成立，考虑达到目的需具备什么条件，通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止。 简言之，这是执果索因的方法，我们称之为分析法，分析法证题的程序如下：欲证“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，则断言BA，也就是AB。 在实际操作上，往往把这两种方法结合起来，先分析探求铺路，再综合解题成功，简言之就是“倒着推，顺着走”。 —平移、旋转、对称 在几何证题中，常需要将一个图形进行适当的变换，常见的几何变换有全等变换，等积变换和相似变换。 本章只讲全等变换，也就是不改变图形的形状和大小，只改变图形位置的变换。 常见的全等变换的形式有三：1．平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置，作出辅助图形，使问题得到解决。 平移的基本特点是：任一线段在平移过程中，其长度保持不变。 2．旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形，这样的变换叫做旋转变换，M叫旋转中心，α角叫旋转角。 旋转变换的主要性质：（1）变换后的图形与原图形全等；（2）原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角。 3．对称：将一个图形（或它的一部分）绕着一条直线翻转180°，得一个与原来形状、大小完全相同的图形，这种变换称为轴对称变换，轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线。 除轴对称外，还有中心对称，这一点我们将在下一章四边形中讲到。 方法总结：复杂的图形都是由较简单的基本图形组成，故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见。 当直接证题有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法。 分析法是从结论出发，用倒推来寻找证明思路的方法。 两头“凑”的方法，也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路。 （又叫分析――综合法）。 转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题；或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想。 ⑴定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而知道分成的两个三角形都是等腰三角形，⑵任何三角形的中线平分三角形的面积，⑶由勾股定理及⑴得：两直角边的平方和等于中线平方的四倍。 教具构成：5盒建构三一长方形盒1、长方2、三角形盒、大六边形盒、小六边形盒 教具目的： 1、培养孩子敏锐的观察力及专注力。 2、发展肌肉运动的控制能力。 3、增强手眼协调能力。 4、培养孩子的逻辑思考能力。 5、为数学学习打基础。 操作方法具体如下： 长方形盒1： 铺好工作毯，邀请孩子一起参与建角形第一盒一长方形盒的工作。 取来教具后，将盒内的三角形一一取出散放在毯上。 对孩子说“请你按照三角形的形状把它们分开”，分类摆放顺序为一2个黄色等腰直解三角形、2个绿色等腰直角三角形、2个黄色直角三角形、2个绿色直角三角形、2个灰直角三角形、2个黄色等边三角形、1个红色直角三角形、1个红色钝角等腰三角形。 取下第一对三角形，食、中两指并拢按照指示线将三角形建构成其他图形。 请孩子尝试。 教具归位。 长方形盒2： 操作方法同上。 分类摆放顺序为一蓝色等腰直角三角形、蓝色直角三角形、蓝色等边三角形、蓝色钝角等腰三角形。 三角形盒： 操作方法同上。 分类摆放顺序为一1个灰色三角形、2个绿色三角形、3个黄色三角形、4个红色三角形。 4个组合后的三角形可再建构成一个大的三角形。 大六边形盒： 操作方法同上。 分类摆放顺序为一1个黄色等边三角形、3个黄色钝角等腰三角形（指示线在底边）、3个黄色钝角等腰三角形（指示线在腰）、2个灰色钝角等腰三角形、2个红色钝角等腰三角形。 小六边形盒： 操作方法同上。 分类摆放顺序为一6个灰色等边三角形、6个红色钝角等腰三角形、3个绿色等边三角形、2个红色等边三角形、1个黄色等边三角形。 变化与延伸：1、生活中的那些图形是由三角形构成的。 2、孩子在熟练后可建构任意图形。 3、告诉孩子三角形所组成的新图形的名称。 4、在孩子能熟练构图后，家长可以给孩子讲解三角形之间所蕴涵的数学关系，如等分、等量交换等。 适用年龄：3岁半以上。证明三角形全等时做需要辅助线的题型与方法的归纳总结
直角三角形斜边上的中线有什么性质
蒙氏教育构成三角形小六边形盒一怎么装
