自尊女孩手册家长读后感，急!急!急!
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功率因数如何计算
青少年要践行社会主义核心价值观的原因或者重要性： 1、青年是建设祖国的生力军，是未来事业的接班人。
在广大青少年中培育践行社会主义核心价值观，对于彰显价值观“最大公约数”、在全国各族人民中统一思想、凝聚力量，对于党和国家事业长远发展具有重大而深远的意义。
2、引导青少年培育践行社会主义核心价值观是广泛汇聚实现中国梦的青春力量的现实需要，是固本兴魂、确保党和国家事业后继有人的现实需要，是促进当代青少年健康成长的现实需要。
3、 青年的价值取向决定了未来整个社会的价值取向，而青年又处在价值观形成和确立的时期，抓好这一时期的价值观养成十分重要。
4、青少年应该自觉成为社会主义核心价值观的推广者和实践者。
如果不将社会主义核心价值观作为思想行为准则，不去实践和践行，便只是一纸空谈，对发挥社会主义核心价值观的作用丝毫无益。
法律读后感
[法律读后感]大多数对于《法律的概念》的解读是带着前理解，这种前理解的来源以介绍性文章、师友的谈论等媒介为主，但是淹没在介绍性文字（或语言）当中的是文本所要针对的现实问题，哈特的观点仿佛是理论自身发展的必然产物，而理论所要解决的现实问题仅仅是与作者生平联系在一起的社会背景的问题，这些问题出现在教科书中并不是作为一个理论的核心来关注，而仅仅是作为与作者生平联系在一起的社会背景的一部分而加以例行公事的程式化的介绍，法律读后感。
这种对理论和理论所要面对的问题的处理方式，或者说关注理论自身而轻视理论面对的问题，实际上割断了理论在历史上所面临的迫切问题或者说一个历史上的问题与我们当下的生活的联系。
所以我们可以不问哈特何许人也
也不问《法律的概念》诞生于什么样的背景、出于什么样的目的
更不会去思考困扰当时哈特的问题
我们就这样轻而易举的得到了哈特的知识成果——这个过程简洁而凝练，难道不该怀疑这一切得来的太容易了吗
哈特并没有设局让读者钻入误区，但读者也许因为过于追求知识的增长而把自己置于似是而非之中。
按照以上的阅读方式，我逐步归纳了这样几个部分，来尝试知其所以然：WHO is Hart
在我所掌握的一点点资料里对哈特生平的记述并不是很多，不过从这里我们也可以一窥哈特的世界。
哈特（H.L.A.Hart）其父是一个具有德国和波兰血统的犹太裁缝。
（我原来一直以为声名赫赫的哈特是以为严谨的英格兰绅士或者苏格兰保守主义者。
但事实是，哈特是犹太人，这也回答了哈特在晚年为什么青睐拉兹并传其衣钵，也许是犹太老乡的缘故吧。
）哈特的受教育的过程虽然没有神童边沁那样让人称奇，但绝对是一个优等生的标准履历。
他曾经在Bradford文法学校（即grammar school，主要提供知识教育，为学生接受高等教育作准备，需要指出的是在国立学校学习的学生只有3％可以去文法学校学习）和牛津新学院（该学院虽名new college，但其实创办于1379年，以富丽的教堂和知名的唱诗班着称）就学。
这期间他对古典哲学发生浓厚兴趣，并且一直保持下来，乃至他二战中在英国军情五处工作时期仍不忘闲暇时与搞哲学研究的同事进行讨论。
不难推断，这种对哲学的热爱对日后哈特终成大器有着深远的影响。
在二战前（1932—1940）哈特在大法官法庭充任开业律师，这期间的实务工作使得哈特知识结构在理论和实践的两极中间获得了良好的平衡，如果没有这段从事律师实务工作的日子，他不可能成为以为法学家，至少不会进行法理论和法哲学的研究。
同时，也是这个原因使哈特的法理论十分贴近法律的实践。
1945年，他成为了牛津新学院的哲学讲师，这一阶段后来风行于牛津的语义分析哲学深深地吸引了哈特，并且似乎在此时他与牛津日常语言学派的学者J.L.奥斯汀（并非哈特在文中批评的法律命令说提出者奥斯汀）结成好友，此人后来于1952年热心推荐哈特走上牛津大学法理学教授的职位。
哈特研究语义分析哲学与其他追逐学术时髦的人不一样，他始终致力于把这门学问应用于法学理论分析当中，这也为日后《法律的概念》出炉奠定了坚实的基础。
谈到哈特出任法理学教授这段时期，人们都会把他的名字与上世纪最伟大的几次法律理论论战联系在一起。
从学术角度讲，哈特是幸运的，同他交手的对手不乏当时学术体格强健的名家，诸如博登海默、富勒、德夫林、德沃金……他们在诸多领域展开争论，但是核心没有离开法律、道德与自由这些基本的分歧点。
这些对手在成就自己的同时也给哈特戴上了学术桂冠。
纵观哈特的学术生涯，其间没有离开过辩论，这种辩论升华了他的造诣，也使哈特的理论逐渐体系化。
这一阶段哈特终于成为西方法学世界的一代宗主，开创了其富有哈氏特色的新分析法学。
鉴于论战对于哈特思想体系的重要性，本文也不可避免的要涉及这些法学高手的巅峰对绝。
1969年哈特离任法理学教授一职，富有戏剧性的是接任其职位的就是曾猛烈抨击其学术观点的德沃金。
离职后的哈特开始步入了大多数学者必然经历的思想成熟期。
他开始把研究的方向逐步转向了对古典实证主义法学的追根溯源上。
由于早年在写《法律的概念》时已经对奥斯汀进行了系统的研究，哈特开始走近边沁。
杰米里。
边沁是个低调的学者，这个害羞腼腆的伦敦人对于出版自己的文章始终怀有一种毫不在乎的心态。
这种心态于个人来说可是一种谦卑的善德，但使得外人了解边沁的思想产生了重大阻碍。
哈特一直高举实证主义法学的大旗，那种内在的学术血统，呼唤他把一个鲜为人知的边沁推到人们的视野中来——在他的努力下，大量关于边沁的文献被整理并出版。
另一方面这种努力的结果也澄清了法学界对于实证主义法学体系传承的误解。
可以推测，这种耐心挖掘过去的工作，不能不说是哈特步入晚年的心态的微妙体现。
哈特在回忆过去的同时，也没有忘记继续丰富自己的理论体系，读后感《法律读后感》。
德沃金的质疑在某种程度上触及了哈特的死穴，尤其是关于 规则说中原则缺位的问题，哈特感觉必须予以正视。
在最后的时光里，他积极回应德沃金，这些回应在他死后边入了《法律的概念》第二版的附录中。
以上是哈特的个人小小的回顾，然而哈特不是孤立的一个名字，他总是和西方法学理论的流派划分联系在一起，在那里他毋宁说是一个标识。
那么在一个学术流派中的标识哈特又是怎样的呢
这里还需要澄清一些必要的事实。
从不同角度看待哈特，我们会得到不同结论，尽管这些结论在原来看来是没有本质上差别的。
哈特是新分析法学的创始人，或语义分析法学的建立者，或战后法律实证主义的第一人，……凡此种种，不一而足。
这里的差别不仅涉及观察角度的不同，更多的是一种含混的指称。
这种贴标签的方法很容易让我们记住某个人，缺陷却是单一层面或路径解读了哈特。
质言之，立体的哈特被消解掉了，他的思想同时也被单线化了。
首先有必要把一些概念梳理，并进行分析以往定位模糊之所在。
概念一，实证主义。
实证主义哲学公认的创立者是法国人奥古斯特。
孔德，他首次在小册子《论实证精神》当中讨论了人类思辨发展的三个阶段：神学、形而上学以及实证阶段。
所谓实证包括以下方面：一是与虚幻对立的真实，二是与无用相对的有用，三是与犹疑对立的肯定，四是与模糊相对的精确。
但是实证主义这个词语用法很宽泛，仅在网上搜索就发现逻辑实证主义、分析实证主义、实证主义社会学、心理学实证主义……这些词汇导致这门哲学的外延经常出现这样或者那样的届分，很多人因为在其理论表现形式上接近这种哲学，就被划为此列。
同时需要质疑的是，就我所知，虽然现在不少被称为实证主义法学的法学家，他们在其着述中却极少追溯到甚至提及孔德的实证主义哲学，这就不得不让我怀疑长久以来一种说法：法律实证主义是实证主义哲学应用于法学研究的体现；即使该说法成立，那么这种体现的程度又有多少呢
概念二，法律实证主义。
关于法律实证主义，在哈特看，英美学界有如下观点：（1）法律是人的命令；（2）法律与道德之间，或者实际是这样的法律与应该是这样的法律之间，没有必然的联系；（3）对法律概念之含意的分析或研究，是一项重要的研究，应与历史考察、社会学的调查方法以及按照道德、社会目的、作用等对法律进行批评性评价的方法区别开来（然而决非是敌对的）；（4）一个为法律制度是一个‘封闭逻辑体系’，在这个体系中，正确的判决可以仅用逻辑方法从预定的法律规则中推断出来；（5）道德的判断不可能像对事实的陈述那样，以合理的论据、证据或证明建立起来。
经过哈特的考证，我们发现了边沁早先也提出了法律命令说，而且也强调了法学分为阐释性法学和审查性法学，这为以后对应法理学和立法学奠定了基础。
应该说边沁已经成为法律实证主义的传统的滥觞之人。
但是需要明确的是，最能体现边沁法律思想的《道德与立法原理导论》于1789年出版，而上文提及的实证主义哲学的鼻祖孔德出版《论实证精神》却是55年之后，甚至孔德本人也是在1798年出生的。
这里遇到了一个类似因果的悖论。
应该看到边沁是在无意识之间涉及了实证主义，这部分并不是他的理论的核心，甚至可以说是个副产品，也许边沁本人一生都没有听说过实证主义这个概念。
或者，在没有更详细的资料之前，我只能把这种外观的相似理解为伟大学者在学术进路上的殊途同归吧。
其实法律实证主义产生离不开英国本土的哲学，我们在边沁的文字中可以看到英国固有的经验主义、功利主义传统尤其是休谟的影子。
其后，奥斯汀作为边沁一脉相承的传人，把边沁的理论加以细化，而且也把讨论的范围尽量退回到法学领域。
不要小看这种归理和回缩，正是依靠奥斯汀精致的理论才在真正意义上创立了分析实证主义法学，他的理论高度是前人难以企及的，因为他的工作使法学这个晚产的婴儿割断与其母体哲学、伦理学以及政治学的脐带走向了新的生命。
但是法律实证主义并不是一个严格意义上的学术流派。
注释法学、潘德格顿学派、概念法学、机械法学、法律形式主义和分析法学都可以算做它的麾下。
所以法律实证主义强调的是主义一词，凡主义者必然是指某种思想上的倾向。
如自由主义，现代多数思想家都可以被成为自由主义者，哈耶克也好、凯恩斯也罢他们观点上都有一个最大公约数，即尊重民众的自由，承认私权。
但是这丝毫不影响把哈耶克尊为维也纳学派第四代掌门，而凯恩斯则被认为是放任自由主义的终结。
概念三，社会实证。
法律实证主义的实证是一种对实在（positive）知识的向往，但是怎样达致实在知识，法律实证主义者在这里就出现了分歧，一些人认为应该从法律是什么的角度切入，另一些人则赞成从法律实际上是什么来研究。
社会实证重视经验事实，企图通过对作为客体的素材分析像自然科学那样作出精准的预测。
采取社会实证路径的法社会学运用了大量社会学的方法，比如现场试验、问卷调查、档案研究、统计分析等等。
顾名思义可以知道分析法学主要运用的方法还是分析实证，它在法学领域要完成的任务就是下文中分析法学研究所涉及的四个方面问题，具体而言就是对概念或者逻辑的分析推理，至于经验事实，不是他们概念或者逻辑分析的主要内容。
说到这里，有人也许会对于以往应然、实然的划分产生疑惑。
其实应然、实然取决于参照系的位相。
自然法学主要诉诸的是先验抽象或者自生自发的概念或者观点来说明法律应该是什么。
不难发现这些概念与神学、政治学、伦理学都是共通的，这也就解释了为什么启蒙时代的自然法学家本人思想里包含了诸多当今的学科理论，这是因为那个时代的法学仍然没有独立。
自然法学在其鼎盛时代有着积极的作用，但是进入到19世纪，西欧各国已经从动荡走向稳定大批法律颁行，其理论的强烈的批判性面对实在法律规范缺乏分析研究能力。
相对于这种评判性的应然，分析法学的描述性话语就纯粹多了，他们否弃的形而上的模式，倡导独立意义的一般法学从相关学科剥离出来，主张从规范的角度把研究的范围限于实在法（而不是自然法、上帝法或者高级法）；相对于自然法学的暧昧不明、难以考究，分析法学的主张就更接近实在世界，故称之为实然。
但是与法社会学对比，分析法学就好像玩弄的是概念间的逻辑转换游戏，仍然是某种意义上的理想化模式，并且不排除为了陈述理论的需要而提出假设，甚至是难以最终证明的假设.他们不可避免出现这样的情形，最终的作为论证基点的东西往往具有形而上的特点，无法经验所证实。
所以相对于法社会学，分析法学处在应然位置。
〔法律读后感〕随文赠言：【这世上的一切都借希望而完成，农夫不会剥下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种粒；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有孩子；商人也不会去工作，如果他不曾希望因此而有收益。
】
分数的意义是什么
分数的意义和性质（一）教学目标 1. 知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。
2. 认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。
3. 理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。
4. 理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。
5. 会进行分数与小数的互化。
（二）教材说明和教学建议教材说明1. 本单元内容的结构及其地位作用。
本单元是学生系统学习分数的开始。
内容包括：分数的意义、分数与除法的关系，真分数与假分数，分数的基本性质，最大公因数与约分，最小公倍数与通分以及分数与小数的互化。
学生在三年级上学期的学习中，已借助操作、直观，初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。
还学习了简单的同分母分数加、减法。
在本学期，又学习了因数、倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。
这些，都是本单元学习的重要基础。
通过本单元的学习，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分以及分数与小数互化的技能。
这些知识在后面系统学习分数四则运算及其应用时都要用到。
因此，学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会应用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。
本单元的内容分为六节，各节的内容的编排体系及其内在联系如下图所示。
从上面的图示，不难看出六节教材的内容所具有的内在逻辑联系。
首先，第1节分数的意义和第3节分数的基本性质，是整个单元教学内容的主干，也是本单元教学的重点。
第2节真分数与假分数是分数意义即分数概念的引申；第 4节约分、第5节通分则是分数基本性质的运用。
最后一节沟通了分数与小数在表现形式上的相互联系，得出了分数与小数的互化方法。
整个单元的内容，大体上显现出由概念到性质，再到方法、技能的递进发展关系。
其次，在第1节里，分数的意义是学习的重点。
在前面学习的基础上，这里引入了两个新的概念，即单位“1”与分数单位。
至于分数的产生、分数与除法的关系，则是从分数的现实来源和数学内部来源两方面来帮助学生深化对分数的认识。
在第2节里，先通过三道例题，引入真分数、假分数、带分数三个概念，再通过例4，解决把假分数化成带分数或整数的问题。
在第3节里，先通过例1，得出分数基本性质，然后通过例2，在运用的过程中加以巩固。
在第4、5节里，先引入公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数的概念，再讨论求最大公因数、最小公倍数的方法，然后在此基础上，引入约分、通分的概念和方法。
显然，在第2、3、4、5节内部，同样显现出由概念到方法的逻辑关系。
2. 本单元教材的编写特点。
与原教材相比，本单元教材的主要改进有以下几点。
（1）多侧面地展现了分数的来源。
在小学数学里，认识分数是小学生数概念的一次重要扩展。
考虑到分数概念比较重要，又比较抽象，有必要通过揭示产生分数的现实背景，来帮助学生形成分数概念，理解它的含义。
从现实的角度来看，数是用来表示量的。
5只兔、5个人，这些量的共同特征，可以用自然数5来表示。
也就是说自然数是一个量（兔、人）与另一个作为单位的量（1只兔、1个人）的比。
现实世界中存在的量，除了上面例举的，由一些单位量合成的，可以用自然数表示多少的量之外，还存在着许多可以分割的，无法用自然数表示的量。
例如，用一根作为单位长的木棒（米尺）去量一条线段AB的长，量了3次还有一段PB剩余。
这时，运用自然数就只能粗略地说，这条线段长3米多一点。
要更精确一些，就必须把度量单位等分成更小的单位，来度量余下的那条线段。
比如把1米一分为四，则每等份叫做“四分之一”米，记做1\\\/4米。
这就引入了形如1\\\/n（n为大于1的自然数）的分数。
假如使用度量单位14米去量图中剩下的一条线段PB，量了3次恰巧量尽，那么PB的长就是“3个1\\\/4”，记作3\\\/4米，这样就又引入了形如m\\\/n（n为大于1的自然数，m为自然数）的分数。
历史上，分数正是为了比较精确地测量这类可以分割的量而引入的。
从数学的角度来看，分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。
比如，2÷3在整数范围内不能计算，引入分数就能记作2÷3＝2\\\/3。
当然，这种抽象的表示方法也有它的实际意义。
例如把2块饼平均分给3个人，每人分得2\\\/3块饼。
在本单元的第1节里，教材首先从历史的角度，从现实生活中等分量的需要出发，生动形象地展示了分数的现实来源。
在引出分数概念之后，教材又通过分蛋糕、分月饼的实例，抽象出分数与除法的关系，使学生初步感悟，有了分数，就能解决整数除法除不尽的矛盾。
这实际上是从数学内部发展的角度，揭示了分数的来源。
这就为拓宽学生的认识，加深对分数的理解，提供了较为丰富的教学素材。
（2）约数、倍数的有关知识与分数的相关知识结合起来教学。
我们知道，在小学数学中，约数、倍数的有关知识的学习，主要是为学习分数服务的。
但在以往的教材中，两者各自独立成章，学完后，学生还不知道学了公因数、公倍数与最大公因数、最小公倍数有什么用，只能对一组组整数单纯地练习求它们的最大公因数或最小公倍数。
而且，这些知识集中在一个单元里，概念多，而且抽象，不利于分散难点，逐步消化，也不利于认识的螺旋上升。
现在，把公因数、最大公因数的内容安排在讨论约分之前教学；把公倍数、最小公倍数的内容安排在引进通分之前学习。
从而将两部分知识紧密结合起来，学了就用，既能减少单纯的枯燥练习，节省教学时间，又有利于整除性知识的教学改革。
为了配合这一改革，约分与通分不再合成一节，而是公因数、最大公因数与约分编为一节，公倍数、最小公倍数与通分编为一节。
（3）关注数学的抽象过程，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。
在本单元中，无论是公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的引入，还是约分、通分的给出，教材都创设了适当的现实问题情境，进而在解决实际问题中，抽象出数学的概念，得出数学的方法。
这些数学知识，还有利于培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。
（4）部分内容作了适当的精简处理或编排调整。
本单元中，比较重要的内容精简处理与编排调整，在前面揭示单元内容结构与联系的图示中，已有所显示。
这里，再择要作些说明。
其一，分数大小比较，不在第1节中单列一段，而是充分利用前面学习分数初步认识时打下的基础，把有关内容与通分结合在一起学习。
这样既进一步简化了第1节的内容，也有利于发挥学习的正向迁移作用。
其二，删去了原来第2节中把整数或带分数化成假分数的内容。
这是因为根据课程标准，今后的分数运算中将不含带分数，所以无须再掌握把整数或带分数化成假分数的技能。
考虑到把假分数化成带分数，容易看出这个假分数的大小在哪两个整数之间，从而有利于数感的形成；把能化成整数的假分数化成整数，是化简某些计算结果的需要。
所以，把假分数化成带分数或整数的内容，仍然保留，但也作了简化，合在一个例题中予以解决。
教学建议1. 充分利用教材资源，用好直观手段。
如前介绍，本单元教材在加强数学与现实世界的联系上作了不少努力，同时，教材还运用了多种形式的直观图示，数形集合，展现了数学概念的几何意义。
从而为教师与学生提供了较为丰富的学习资源。
教学时，应充分利用这些资源，以发挥形象思维和生活体验对于抽象思维的支持作用。
本单元的特点之一就是概念较多，且比较抽象。
而小学高年级学生的思维特点是他们的抽象逻辑思维在很大程度上还需要直观形象思维的支撑。
因此，在引入新的数学概念时，适当加大思维的形象性，化抽象为具体、为直观，对于顺利开展教学来说，是十分必要的。
所谓化抽象为具体，就是通过具体的现实情境，调动学生相关生活经验来帮助理解。
所谓化抽象为直观，就是运用适当的图形、图示来说明数学概念的含义，这是小学数学最常用的也是最主要的直观教学手段。
2. 及时抽象，在适当的抽象水平上，建构数学概念的意义。
为了搞好本单元的教学，在加强直观教学的同时，还要重视及时抽象，不能听任学生的认识停留在直观水平上。
否则，同样会妨碍学生对所学知识的理解和应用。
例如：比较1\\\/3与1\\\/2的大小，有学生回答，不一定谁大谁小，要看他们分的那个圆，哪个大，由此得出1\\\/3可能比1\\\/2大，也可能比1\\\/2小，还可能和1 \\\/2相等。
造成这种错误认识的主要原因，就在于过分依赖直观，而没有及时抽象。
因此，在充分展开直观教学，让学生获得足够的感性认识基础上，要不失时机地引导学生由实例、图示加以概括，建构概念的意义。
3. 揭示知识与方法的内在联系，在理解的基础上掌握方法。
在本单元中，约分与通分、假分数化为带分数或整数、分数与小数的互化的方法，都是必须掌握的。
这些方法看似头绪较多，但若归结为基础知识，就是揭示相关知识与方法的联系，就比较容易在理解的基础上掌握方法。
以约分与通分为例，它们都是分数基本性质的应用。
尽管约分时分子、分母同除以一个适当的数，通分时分子、分母同乘一个适当的数，但它们都是依据分数的基本性质，使分数的大小保持不变。
因此，教学时不宜就方法论方法，而应凸显得出方法的过程，使学生明白操作方法背后的算理。
这样就能依靠理解掌握方法，而不是依赖记忆学会操作。
4. 这部分内容可以用20课时进行教学。
圆周率是怎样得出的
圆周率是一个极其驰名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学史家康托说：历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。
我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
实验时期 通过实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。
这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。
最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。
这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。
其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。
在我国刘徽之前圆径一而周三曾广泛流传。
我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆周三径一这一结论。
在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：周三径一，方五斜七，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。
这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。
东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。
后人称之为古率。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。
如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。
或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。
如古埃及人应用了约四千年的 4 (8\\\/9)2 = 3.1605。
在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。
刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。
现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
几何法时期 凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。
真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。
他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。
由此，开创了圆周率计算的第二阶段。
圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。
当然，这是一个差劲透顶的例子。
据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。
阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。
在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值，他用几何方法证明了圆周长与圆直径之比小于 3+(1\\\/7) 而大于 3 + (10\\\/71) ，他还提供了误差的估计。
重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。
到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。
割圆术。
不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。
在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。
公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为徽率，他指出这是不足近似值。
虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。
割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。
另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927\\\/1250 ＝3.1416。
而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。
这种精加工方法的效果是奇妙的。
这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。
恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。
对此，《隋书·律历志》有如下记载：宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。
以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。
密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。
约率，圆径七，周二十二。
这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。
其一是求得圆周率 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。
以致于有数学史家提议将这一结果命名为祖率。
这一结果是如何获得的呢
追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。
因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。
后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。
祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢
这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。
这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。
中国发行的祖冲之纪念邮票 祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎发现宫科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山…… 对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意。
然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。
密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。
数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数。
在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。
可见，密率的提出是一件很不简单的事情。
人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢
他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢
这一问题历来为数学史家所关注。
由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。
后人对此进行了各种猜测。
让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。
1573年，德国人奥托得出这一结果。
他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法合成的：(377-22) \\\/ (120-7) = 355\\\/113。
1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333\\\/106 ＜ π ＜ 377\\\/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)\\\/(106+120) = 355\\\/113。
两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。
他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。
其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。
钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的调日法或称加权加成法。
他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) \\\/ (50+7×9) = 355\\\/113，一举得到密率。
钱先生说：冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。
另一种推测是：使用连分数法。
由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。
于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650… 最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。
至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。
你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。
英国李约瑟博士持这一观点。
他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。
我国再回过头来看一下国外所取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927\\\/1250 = 3.1416。
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是： π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。
这是国外第一次打破祖冲之的记录。
16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。
他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。
17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。
他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形
这样，算出小数35位。
为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为鲁道夫数。
但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。
到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。
17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。
π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。
分析法时期 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。
1593年，韦达给出 这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。
甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。
它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。
接着有多种表达式出现。
如沃利斯1650年给出： 1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名： 再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位。
这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。
显然，级数方法宣告了古典方法的过时。
此后，对于圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着一个： 1844年，达塞利用公式： 算到200位。
19世纪以后，类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长。
1873年，谢克斯利用梅钦的一系列方法，级数公式将 π 算到小数后707位。
为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的时间。
他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。
于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值。
这一惊人的结果成为此后74年的标准。
此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确。
以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的 π 值。
又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同。
当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐。
于是怀疑有误。
他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年。
1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）。
谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销，这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了。
对此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作之余，也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数707位这件事。
这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度。
如果确实是这样的话，他的目的达到了。
人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的。
但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了。
人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物。
但成为不了伟大的数学家，并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献。
人各有其长，作为一个精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而别无报酬，并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦。
对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗
1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 。
这是人工计算 π 的最高记录。
计算机时期 1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代。
电脑的出现导致了计算方面的根本革命。
1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。
计算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破。
ENIAC：一个时代的开始 1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。
1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。
1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。
如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。
来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录。
据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍。
圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。
如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。
不过，现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。
实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大。
现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够。
如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。
我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： 十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。
那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢
为什么其小数值有如此的魅力呢
这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。
奔腾与圆周率之间的奇妙关系…… 1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。
这对计算机本身的改进至关重要。
就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的。
这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。
2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。
虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算。
实际上，确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大飞跃而已。
因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题。
在这方面，本世纪印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果。
他发现了许多能够迅速而精确地计算 π 近似值的公式。
他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路。
现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的。
至于这位极富传奇色彩的数学家的故事，在这本小书中我们不想多做介绍了。
不过，我希望大家能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。
3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去
答案是：不行
根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位。
虽然，现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限。
为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破。
前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错，后面的数值完全没有意义。
还记得令人遗憾的谢克斯吗
他就是历史上最惨痛的教训。
4、于是，有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢
这一根本性的想法就是寻找并行算法公式。
1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，但这是一个16进位的公式，这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进位的。
是否有10进位的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题。
5、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。
如，在 π 的十进展开中，10个数字，哪些比较稀，哪些比较密
π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗
或许它们并非完全随意
这样的想法并非是无聊之举。
只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。
6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同。
正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值的错误立下了汗马功劳。
然而，猜想并不等于现实。
弗格森想验证它，却无能为力。
后人也想验证它，也是苦于已知的 π 值的位数太少。
甚至当位数太少时，人们有理由对猜想的正确性做出怀疑。
如，数字0的出现机会在开始时就非常少。
前50位中只有1个0，第一次出现在32位上。
可是，这种现象随着数据的增多，很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999，440个0；……60亿位以内有599，963，005个0，几乎占1／10。
其他数字又如何呢
结果显示，每一个都差不多是1／10，有的多一点，有的少一点。
虽然有些偏差，但都在1／10000之内。
7、人们还想知道： π 的数字展开真的没有一定的模式吗
我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布，寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话，迄今为止尚未发现有这种模型。
同时我们还想了解： π 的展开式中含有无穷的样式变化吗
或者说，是否任何形式的数字排列都会出现呢
著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的十进展开中是否有10个9连在一起
以现在算到的60亿位数字来看，已经出现：连续6个9连在一起。
希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的，看来任何数字的排列都应该出现，只是什么时候出现而已。
但这还需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据。
8、在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。
如果继续算下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现。
拾零： π 的其它计算方法 在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰提出了用实验方法计算 π 。
这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d\\\/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到 π 的近似值。
因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l\\\/πd 。
利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
在一次实验中，他选取 l = d\\\/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212\\\/704 = 3.142。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到 π 的更精确的值。
1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596。
目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。
在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪。
如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。
不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值。
蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
计算 π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／π2。
1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。
马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。
他检查了100万对因子，据此求得 π 的值约为3.12772。
这个值与真值相对误差不超过5％。
通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美。
π 竟然与这么些表面看来风马牛不相及的试验，沟通在一起，这的确使人惊讶不已。
